微分積分 曲線の接線の問題 [ネコ騙し数学]
微分積分 曲線の接線の問題
問題1 曲線y=x³の上の点Pにおける接線が、x軸、y軸と交わる点をそれぞれQ、Rとすれば、QはPRの3等分点であることを示せ。
【解】y'=3x²だから、P(a,a³)(a≠0)における接線の方程式は
y=0とし、x軸との交点を求めると
x=0とし、y軸との交点Rを求めると
PRを1:2に内分する点の座標(x,y)を求めると
となり、点Rと一致する。
よって、QはPRの3等分点である。
(解答終わり)
問題2 曲線y=x²+1上の任意の点Pにおける接線が曲線y=x²と交わる点をQ、Rとすると、PはQRの中点であることを証明せよ。
y'=2xだから、点P(a,a²+1)における接線の方程式は
y=x²との交点を求めるために①を代入すると
この2次方程式の解をα、β、さらに、交点をQ(α,α²)、R(β,β²)とすると、中点は
である。
また、2次方程式の解と係数の関係より
よって、
QRの中点は
となり、Pと一致する。
よって、PはQRの中点である。
(解答終わり)
問題3 曲線y=x²の直交する2つの接線の交点はどのような線上にあるか。
【解】y'=2xだからA(a,a²)における接線の方程式は
同様に、B(b,b²)における接線の方程式は
①と②は直交するので
①と②の交点を求めると
よって、交点は上にある。
(解答終わり)
2016-08-03 12:00
nice!(0)
コメント(0)
トラックバック(0)
コメント 0