接線の方程式ミニ（おさらい）

接線の方程式ミニ（おさらい）

定積分を使った曲線y=f(x)が囲む領域の面積・体積を求める問題に多数、その曲線y=f(x)の接線絡みの問題が多数出てきますが、

曲線y=f(x)の、この曲線上の点P(a,f(a))における接線の方程式が

　　

であることをよもや忘れていませんよね。

このことを知っていることを前提で話をしているので、これを知らないと、何をやっているかわからなくなってしまう。

例えば、放物線y=f(x)=x²の点P(1,1)における接線の方程式は、y'=f'(x)=2xだから、x=1における微分係数（これは接線の傾き）f'(1)=2×1=2。

したがって、接線の方程式は

　　

になる。

逆に、y=f(x)=x²に接する点A(0,−1)を通過する直線の方程式を求めるには、次のように解けばいい。

【解】接点を(a,a²)とすると、接線の方程式は

　　

この直線が点(0,−1)を通るから

　　

したがって、接点は(−1,1)と(1,1)で、その点における接線の方程式は、②より

　　

である。

（解答終わり）

微分法を使えば上のような解答になるけれど、f(x)が２次関数の場合は次のように解くこともできる。

【別解】

求める接線は点A(0,−1)を通るので、その傾きをmとすると

　　

③とy=x²の共有点（この場合は接点）のx座標は

　　

の解である。

接点だから、④の解は重複解（重解）でなければならない。

したがって、④の判別式をDとすると、D=0

　　

③より、求めるべき接線の方程式は

　　

接点のx座標は、④より、

m=−1のとき

　　

このときのy座標は

　　

したがって、接点は(−1,1)。

m=1のときは、同様に、(1,1)。

（解答終わり）

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