体積の問題１

体積の問題１

回転体の体積

（１）　曲線y=f(x)（a≦x≦b）をx軸のまわりに回転したとき

　　

（２）　曲線x=g(y)（c≦y≦d）をy軸のまわりに回転したとき

　　

問題１　曲線y²=3−xと直線x=2とで囲まれた部分を、x軸のまわりに回転してできる図形の体積を求めよ。

【解】

y²=3−xとx=2の交点のy座標は

　　

求める体積Vは、

　　

とすると、

　　

（解答終わり）

なお、上の計算では、y⁴−6y²+5が偶関数だから

　　

を使っている。

 

問題２　図は半径１の半円で、弦AP、AQの直径ABとなす角はそれぞれ30°、60°である。弦AP、AQと弧BPを囲む部分を直径ABのまわりに１回転してできる立体の体積を求めよ。

【解】

Aを原点に、ABをx軸にとると、円の方程式は

　　

また、直線APと直線AQの方程式は

　　

よって、求める体積Vは

　　

（解答終わり）

問題３　次の曲線をy軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

　　

【解】

　　

求める体積Vは

　　

とすると、曲線x₁をy軸周りに回転してできる立体の体積から曲線x₂をy軸まわりに回転してできる立体の体積を引いたものと等しい。

　　

（解答終わり）

 

問題４　曲線y=2x−x²と直線y=−xとで囲まれた部分をx軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。

【解】

y=2x−x²とx=1とx軸とで囲まれた部分をx軸のまわりに回転してできる立体の体積をV₁（図中の灰色の部分）、y=−xとx=1、x=3とx軸で囲まれた部分をx軸まわりに回転してできる立体の体積をV₂（ピンクの部分）、y=2x−x²とx=2、x=3とx軸で囲まれた部分をx軸まわりに回転してできる立体の体積をV₃（斜線部）とする。

求める体積Vは

　　

である。

　　

したがって、

　　

（解答終わり）

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