ワンポイントゼミ６ 極大と極小

ワンポイントゼミ６　極大と極小

極大、極小の定義

関数f(x)が点x=x₀においてとる値f(x₀)がx₀の近傍（x₀を含む十分小さな開区間）で、x≠x₀ならばf(x₀)>f(x)（f(x₀)<f(x)）であるとき、f(x)はx=x₀で極大（極小）といい、f(x₀)を極大値（極小値）という。極大値、極小値をあわせて極値という。

 

問１　定義域をa≦x≦b（a<b)とする定数関数f(x)=cがある（cは定数）。

f(x)が極大、極小になる点とその値を求めよ。

【答】

極大、極小になる点、極大値、極小値は存在しない。
（おしまい）

x₀≠xならばf(x₀)>f(x)=c（f(x₀)<f(x)=c）である点x₀がx₀∈[a,b]に存在しない――そのような点x₀が存在するとすれば、f(x₀)>c（f(x₀)<c）になってしまい、f(x₀)=cに矛盾する――。したがって、この場合、極大値、極小値とも存在しない。

問２　実数全域で定義された次の関数f(x)がある。

　　

f(x)の極値を求めよ。

【答】

f(x)は

　　

この関数の概形は次の通り。

x=−1の十分に近いところにおいて、x≠−1ならばf(x)>f(−1)=0が成立するので、x=−1で極小。

x=1の十分に近いところにおいて、x=1ならばf(x)>f(1)=0が成立するので、x=1で極小。

x=0の十分に近いところにおいて、f(x)<f(0)=1だから、f(x)はx=0で極大。

したがって、

極小値0　（x=±1）

極大値0　（x=0）

（おしまい）

関数が微分可能であるとき、極値をとる点aでは、かならず、f'(a)=0でなければならない。

問２の関数は、x=±1以外では微分可能で、その導関数f'(x)は
　　
だからx=0でf'(0)=0となり、この条件を満たしている。

しかし、x=±1で、f(x)は微分可能でないから、この条件を満たしていない。そもそも、導関数f'(x)はx=±1で定義されていない。

また、f(x)=x³は実数全域で微分可能であるけれど、f'(x)=3x²=0となる点x=0で極値をとらない。

このことから、f'(a)=0という条件は、微分可能な関数f(x)がx=aで極値をもつための十分な条件でないことがわかる。f'(x)=0という条件は、微分可能な関数f(x)が極値を持つために満たさなければならない、必要な条件にすぎない！！


ひとつ質問をするが、

　　

のx=±1における接線の方程式は？

赤と青で示されている直線がこの曲線の接線？
それとも、これとは違う他の直線。
あるいは、接線は存在しない(^^)

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