高次導関数

高次導関数

関数y=f(x)の導関数f'(x)もまたxの関数であり、これをさらに微分して得られる導関数をy=f(x)の第２次導関数といい、

　　

などの記号であらわす。

d²y/dx²は

を略したものである。

すなわち、

である。

同様に、第２次導関数f''(x)を微分して得られる導関数をy=f(x)の第３次導関数といい、

　　

などであらわす。

一般に、y=f(x)をn回微分して得られる関数をy=f(x)の第n次導関数といい、

であらわす。
また、第２次導関数以上の導関数をf(x)の高次導関数という。

例１　

　　

例２

　　

問題１

　　

とおき、両辺のr次導関数を考えることによってを定め、それからの展開式を求めよ。

【解】

の両辺をxで微分すると、

　　
これらの両辺にx=0を代入し、係数を比較すると、
　　

よって、

　　

したがって、

　　

（解答終わり）

　　

だから、この組み合わせを使うと、

となる。

x=b/aとし、両辺にをかけると

　　

となり、２項定理が得られた。

問題２

　　

をもちいて次のことを証明せよ。
【解】

　　

とする。（１）　①にx=1を代入すると、

　　

（２）　①にx=−1を代入すると、

　　

（３）　①の両辺を微分すると、

　　

x=1を代入すると、

　　

（４）　②にx=−1を代入すると、

　　

（解答終わり）

 

問題３　f(x)がn次の整式であるとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。

　　

【解】

f(x)はn次の整式だから

　　

x=aを代入すると、

　　

①を微分すると

　　

x=aを代入すると

　　

②をxで微分すると

　　

これにx=aを代入し

　　

同様に

　　

したがって、r=0,1,2,…,nに対して

　　

が成立し、よって、
　　

である。

（解答終わり）

これは多項式、整式に対するx=aにおけるテーラー展開。

そして、このことから、f(x)をx−aで割った余りがf(a)、(x−a)²で割った余りがf(a)+f'(a)(x−a)、

そして、(x−a)³で割った余りが

　　

であることが直ちにわかる。

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