ワンポイントゼミ ４次関数のグラフ

ワンポイントゼミ　４次関数のグラフ

問　次の関数のグラフの概形をかけ。

【解】

（１）　y=f(x)=x⁴−8x²とおく。

　　

f'(x)=0の解はx=0、x=±2。

f''(0)<0だからx=0で極大。f(±2)>0だからx=±2で極小。

f''(x)=0の解は。でf''(0)>0だから下に凸、でf''(0)<0だから上に凸。したがって、で変曲点をとる。

この関数の概形は次のとおり。

（２）　y=f(x)=3x⁴+8x³−1とおく。

　　

f'(x)=0となるxは、x=−2、x=0。
x=0のとき、f''(0)=0だから２次導関数による極値の判定ができない。f'(x)=12x³(x+2)だから、x=0の前後の符号は−で減少状態にあり、よって、f(x)はx=0で極値をとらない。

x=−2のとき、f''(−2)>0だから極小。

f''(x)=0となるxは、x=−4/3、x=0。したがって、x<-4/3ではf''(x)>0で下に凸、−4/3<x<0でf''(x)<0で上に凸、x>0でf''(x)>0だから下に凸。よって、f(x)はx=−4/3、x=0で変曲点になる。

（３）　y=f(x)=(x−1)⁴とする。

　　

x=aで微分可能な関数f(x)が極値であるためには、f'(a)=0でなければならない。この条件を満たすのはx=1のみ。そして、f''(1)=0になるので、２次導関数を用いた判定の判定は行えない。だが、x=1の前後でf'(x)の符号が負から正に変わることから、x=1で極小値をとることが分かる。

この関数の変曲点だが、

　　

だから、この関数は変曲点を有さない。

この関数の概形は、以下のとおり。




（解答終わり）

４次関数には直接関係しませんが、次の問題を。

問題

３次方程式f(x)=0が相異なる３つの実根を持つとき、２次方程式f'(x)=0は相異なる２つの実根を持つことを証明せよ。また、この場合、f(x)の実根をx₁、x₂、x₃（x₁<x₂<x₃）とし、f'(x)=0の実根をα、β（α<β）とすると、x₁、x₂、x₃とα、βの大小関係はどうなるか。【解】

f(x)はx₁≦x≦x₂で連続、x₁<x<x₂で微分可能、かつf(x₁)=f(x₂)=0だから、ロールの定理により

　　

となるαがx₁のx₂間に少なくともひとつ存在する。

同様に、

　　

となるβがx₂のx₃間に存在する。

したがって、

　　

である。

（解答終わり）

ロールの定理

f(x)が閉区間[a,b]で連続、閉区間(a,b)で微分可能であり、かつ、f(a)=f(b)であるとき、

をみたすcが少なくとも１つ存在する。

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