漸近線

漸近線

漸近線の定義

曲線上の点が原点から限りなく遠ざかっていくとき、その点からの距離が限りなく0に近づく直線を漸近線という。

 

例

　　

グラフから明らかなように、この曲線は、x→1+0のときy=+∞、y→1−0のときy=−∞だからx=1はこの曲線の漸近線である。また、、x→±∞のとき、この曲線はy=xに限りなく近づいていくので、y=xも漸近線である。

漸近線がy軸に平行でなく、直線y=mx+nに近づく場合、

　　

で求めることができる。

曲線y=f(x)上の点P(x,y)から直線y=mx+nにおろした垂線の足をQとする。

このとき、線分PQの大きさは

　　

x→±∞のとき、PQ→0だから

　　

したがって、
　　

よって、

　　

したがって、

　　
（※）

　　

問　次の漸近線を求めよ。

　　

【解】

（１）

　　

したがって、

　　

よって、y=xは漸近線。

また、

　　

だから、x=0も漸近線。

したがって、漸近線はy=x、x=0。

（２）

　　

よって、y=x+3が漸近線。

　　

x=0も漸近線。

したがって、漸近線はy=x、x=0である。

（解答終わり）

なのですが、必ずしも、このように解く必要はなく、

（１）だと、

　　

x→±∞のとき、1/x→0になるので、y=x+1/xがy=xに限りなく近づいてゆくことが分かる。

このことから、y=xが漸近線であることが分かる。

（２）の場合、

　　

x→±∞のとき、カッコの中が限りなく0に近づくので、y=x+3が漸近線になることがすぐに分かる。

こうした議論は正確性を欠くキライがあるので、次のようにしますか。

（１）

　　

したがって、y=xは漸近線である。

（２）

　　

したがって、y=x+3は漸近線である。

 

問題　関数

　　

のグラフが条件（１）、（２）を満足する。

（１）　グラフは原点を通る。

（２）　漸近線はx=1とy=x+1である。

a、b、cの値を求めよ。

【解】

　　

とおく。

条件（１）より

　　

条件（２）より、x=1が漸近線だから、a=−1でなければならない。

また、

　　

であり、y=x+1が漸近線であるから、b=1。

よって、

　　

これは,

　　

をxの正の方向に1、yの正の方向に２移動させたものだから、グラフは以下のとおり。

（解答終わり）

なお、微分法を使うと、

　　

となり、x=0で極大、x=2で極小であることがわかる。

極大値　0　（x=0)

極小値　4　（x=2）

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