ワンポイントゼミ１０ ３次関数の接線に関する裏技

ワンポイントゼミ１０　３次関数の接線に関する裏技

x=aで微分可能な関数f(x)の、x=aにおける接線の方程式は、

　　

ところで、f(x)を多項式とするとき、(x−a)²で割った余りは、f'(a)(x−a)+f(a)である。

このことは、次のように証明される。

多項式f(x)を(x−a)²で割った余りは高々１次式だから、その余りはpx+qとあらわすことができる。f(x)を(x−a)²で割った商をQ(x)とすると、

　　

これをxで微分すると、

　　

したがって、

　　

また、①にx=aを代入すると

　　

よって、余りは

　　

である。

以上のことより、f(x)を(x−a)²で割った余りと上記のx=aにおける接線の方程式の右辺は同じものであることが分かる。

そして、このことから、整関数f(x)のx=αにおける接線の方程式がy=mx+nであるとき、

　　

になる。

f(x)が３次関数の場合、Q(x)=a(x−β)とあらわすことができる。

つまり、

　　

この両辺をxで２回微分すると、
　　

f(x)の変曲点(c,f(c))ではf''(c)=0だから、

　　

ところで、
　　

だから、x=βは、方程式f(x)−(mx+n)=0の解。

したがって、x=βは、y=f(x)と接線y=mx+nの共有点のx座標である。

以上のことから、α≠βのとき、A(α,f(α))、B(β,f(β))とすると、接点Aと接点以外の交点B、そして、３次関数の変曲点は図に示すようなような位置関係にある。

つまり、

３次関数の変曲点のx座標cは、図に示すような数直線上の点α、点βを1:2に内分する点の位置にある。

　　

⑨という関係があるから、接点Aのx座標α、交点Bのx座標βがわかれば、変曲点のx座標は⑨式から求まる。

αとcがわかれば、⑨式により、交点Bのx座標βが求められるのであった！！

問題　曲線

　　

とx=−2における接線との共有点で、接点以外の共有点を求めよ。

【解】

y''=xだから、変曲点のx座標cは0。

α=−2だから、⑨より

　　

したがって、求める共有点のy座標は

　　

よって、答えは(4,23/3)である。

（解答終わり）

３次関数の接線には、こういう裏技があるという話。

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