合成関数と逆関数のの微分

合成関数と逆関数のの微分

§１　合成関数の微分

写像の定義

X、Yを空でない集合とする。Xのおのおのの要素（元）xについてYのをただ一つ対応させる規則fが与えられているとき、この規則fを集合Xから集合Yへの写像（関数）といい、

　　

であらわす。

　　

があるとき、Xの要素xに対応するYの要素yをxのfによる像といいf(x)であらわし、

　　

とかく。

合成写像の定義

X、Y、Zを集合、

　　

を写像とする。

このとき、x∈Xに対してg(f(x))∈Zを対応させる写像を合成写像（合成関数）といい、であらわす。すなわち、

　　

である。

たとえば、

　　

という対応規則、関数f、gが与えられているとき、

　　

となって、Xのおのおのの要素xにZの要素zをただ一つ対応させることができる。そして、この規則が合成写像（合成関数）である。

合成関数の微分

先にでたように、

　　

の合成関数は

　　

で、これは微分可能で導関数は

　　

である。

次に、より一般の合成関数y=f(g(x))の微分公式を求めることにする。

y=f(u)、u=g(x)がともに微分可能であるとする。

　　

とおくと、

　　

Δx→0のとき、Δy→uだから

　　

これを上式に代入すると、

　　

よって、

　　

である。

したがって、

　　

定理　（合成関数の微分）

y=f(u)、u=g(x)がともに微分可能であるとき、合成関数y=f(g(x))の微分は

　　

である。

あたかも分数の約分のようであるから①は覚えやすい。

しかし、使い勝手がいいのは⑨である。

問　次の関数を微分せよ。

　　

【解】

（１）　u=x²+1とおくとy=2u³+3u。

　　

よって

　　

（２）　u=x³+3とおくとy=√u。

　　　　

よって、

　　

（解答終わり）

（２）の3をa²（aは定数）を置き換えると

　　



§２　逆関数の微分

 

y=f(x)の逆関数をy=g(x)とおけば、x=f(y)

この両辺をxで微分すると、右辺は

　　

よって

　　

定理　（逆関数の微分公式）

　　

数関数とするとx=logy。

だから、
　　

このxをyに置き換えると、

　　

という対数関数の微分の公式が得られる。

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