陰関数の微分と媒介変数で表された関数の微分

陰関数の微分と媒介変数で表された関数の微分

§１　陰関数の微分

φ(x,y)=x²+y²−1=0のように２変数xとyの関係が与えられているとする。これをyについて解くと、

　　

であり、φ(x,y)=x²+y²−1=0は①と②の２つの関数からなるものと考えられる。

このように、φ(x,y)=0の形で与えられる関数を陰関数、y=f(x)の形で与えられる関数を陽関数という。

問１　x²+y²=1のとき、dy/dxを求めよ。

【解】

x²+y²=1の両辺をxで微分すると

　　

（解答終わり）

なお、dy²/dxの計算は、合成関数の微分の公式を用いて

　　

と計算している。

 

問２　次の方程式からdy/dxを求めよ。a0、b、pは定数とする。

　　

【解】

（１）　両辺をxで微分すると、

　　

（２）　両辺をxで微分すると

　　

（３）　両辺を微分すると

　　

（解答終わり）

問題１　曲線x²−y²=9およびxy=4の交点における接線は互いに直交していることを証明せよ。

【解】

x²−y²=9の両辺をxで微分すると、

　　

また、xy=4をxで微分すると、

　　

２曲線の交点Pの座標を(a,b)とすると、x²−y²=9とxy=4の(a,b)における接線の傾きをm₁、m₂とすると

　　

よって、交点Pにおける接線は直交する。

（解答終わり）

§２　媒介変数で表された関数の微分

x、yが変数tによってx=f(t)、y=g(t)で与えられているとする。

x=f(t)の逆関数が存在するとき、yはxの関数とみなすことができる。

y=g(t)をの両辺をxで微分すると、

　　

x=f(t)の逆関数の導関数は

　　

だから、

　　

定理　（媒介変数tで表された関数の微分）

x、yがそれぞれtの関数であるとき、dy/dx≠0ならば

　　

問　次の関係式より、dy/dxを求めよ。

　　

【解】

（１）

　　

（２）

　　

（解答終わり）

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