陰関数の微分の問題

陰関数の微分の問題

問題１　陰関数の微分法を用いて、次の方程式によって表された曲線上の点(x₁,y₁)における接線の方程式を求めよ。ただしa≠0、b≠0とする。

　　

【解】

（１）　ax²+by²=1の両辺をxで微分すると、

　　

この曲線の点(x₁,y₁)における接線の傾きは

　　

接線の方程式は

　　

y₁=0のとき、a>0のとき、接線の方程式は

　　

になり、このときも

　　

を満たすので、接線の方程式は

　　

（２）


　y²=4axの両辺をxで微分する。

　　

したがって、点(x₁,y₁)における接線の傾きは

　　

よって、接線の方程式は

　　

点(x₁,y₁)はy²=4ax上の点だから

　　

これを代入すると、

　　

y₁=0のとき、x₁=0で、原点Oにおける接線はx=0

この場合も、

　　

が成立するので、接線の方程式は

　　

（３）　xy=aの両辺をxで微分すると、

　　

よって、点(x₁,y₁)における接線の傾きは

　　

よって、接線の方程式は

　　

（解答終わり）

問題２　曲線

　　

上の任意の一点P(x₁,y₁)の接線の両座標軸の間にある部分は一定であることを証明せよ。ただし、a>0、x₁y₁≠0とする。

【解】

　　

をxで微分すると、

　　

よって、接点での傾き

　　

接線の方程式

　　

x切片とy切片を求めると

　　

この接線とx軸とy軸の交点をA、Bとすると

　　

よって、一定である。

（解答終わり）

問題３　曲線

　　

の上の点Pにおける接線がx軸、y軸と交わる点をA、Bとする。このとき、OA+OBはPの位置に関係なく一定であることを証明せよ。

【解】

　　

をxで微分すると、

　　

したがって、点P(x₁,y₁)における接線の傾きは

　　

接線の方程式は、
　　

よって、x切片は√x₁、y切片は√y₁となり、

　　

Pの位置に関係なく、OA＋OBは一定で、その値は１である。

（解答終了）

補足

タグ：微分積分