ワンポイントゼミ１７

ワンポイントゼミ１７

これからしばらく積分の計算方法についての記事が続くので、それを補う形で、応用的な問題をワンポイントゼミで解くことにする。

問題　y=f(x)はすべてのxに対し、0<y<1かつを満足し、であるとする。

（１）　f(x)を求めよ。

（２）　を求めよ。

【考え方】

不定積分

　　

を求めるために、まず、被積分関数を部分分数に分解する必要がある。

そこで、まず

　　

として、両辺を比較することによって係数A、Bを求める。

そうすると、

　　

これが0<y<1のすべてのyについて成り立つためには、

　　

これから、A=1、B=−1になり、

　　

よって

　　

したがって、

　　

x=0のときy=2/3だから

　　

よって

　　

（２）のx→∞の極限を求めるにあたって、次のことに注意が必要。

a<0のとき

　　

a=0のときになるので

　　

a>0のとき

　　

したがって、

　　

は、

a<0のとき1

a=0のとき2/3

a>0のとき0

になる。

これをまとめて、解答を作ればよい。