置換積分１

置換積分１

置換積分

とする。

x=g(t)とおくと、F(x)はtの関数F(g(t))となる。

よって、合成関数の微分より

　　

この両辺をｔで積分すると

　　

よって、

　　

これを置換積分法の公式という。

 

例１

　　

【解】

t=1−xとおくと、x=1−t。

よって、

　　

したがって、

　　

（解答終わり）

問題　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】

t=logxとおくと

　　

よって、

　　

（解答終わり）

t=g(x)のときは、①のxとtを入れ換えて、

　　

とし、次のように解くこともできる。

【別解】

t=logxとおき、両辺をxで微分すると

　　

したがって、

　　

（別解おわり）

なのですが、あたかも分数のごとく

　　

や

　　

と、形式的に考えると、何かと便利。

 

例２

　　

【解】

t=x²+1とおき、両辺をxで微分する。

　　

よって

　　

（解答終わり）

（※）

　　

つまり、分数のように

　　

と計算することができる。

 

例３　F'(x)=f(x)のとき、

　　

【解】

t=ax+bとおくと

　　

よって

　　

（解答終わり）

例４

　　

【解】

t=f(x)とおくと

　　

よって

　　

（解答終わり）

ちなみに例２は、例４の特殊なもので、f(x)=x²+1とすれば、例２の結果を得ることができる。

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