ワンポイントゼミ１９

ワンポイントゼミ１９

問題　x軸上を動く点Pとy軸上を動く点Qがある。点Pは原点を出発しt秒後の速度がsin2tであり、点Qは点(0,1)を出発しt秒後の速度がsintである。このとき線分PQの中点Rの軌跡を図示せよ。ただし速度は座標軸の正の方向とする。

【考え方】

点P、Qの座標をそれぞれ(x,0)、(0,y)とする。

点Pのt秒後の速度はsin2tだから

　　

点Qのt秒後の速度はsintだから

　　

つまり、

　　

①、②をtで積分すると

　　

t=0のとき、x=0、y=1だから、

　　

したがって、

　　

RはP、Qの中点だから

　　

三角関数の倍角公式より

　　

だから、③は

　　

④より

　　

これを⑤に代入すると

　　

ところで、

　　

よって、③式から、Xは、cos2t=−1のとき最大、cos2t=1のとき最小で、

　　

となる。

よって、求める軌跡は

　　

である。

ちなみに、

　　

ax=sとおくと、

　　

したがって、

　　

同様に、