置換積分2 [ネコ騙し数学]
置換積分2
今回は、置換積分を用いて、不定積分を求めることにする。
置換積分の基本公式は次のとおりである。x=g(t)とおくと
問題1 次の不定積分を求めよ。
【解】
(1) t=3x−1とおくと、よって、
(2) t=x²+2x+3とおくと
よって、
(解答終了)
(2)については、f(x)=x²+2x+3とすると、f'(x)=2x+2=2(x+1)だから、
という公式を用いて、
と、解くこともできる。
なお、
だから、|x²+2x+3|=x²+2x+3である。
問題2 次の不定積分を求めよ。
【解】
(1) とおくと
また、t²=x+1より、x=t²−1。
よって
(2) とおくと
よって、
(解答終了)
次のように解いたほうがいいのかもしれない。
【別解】
(1) とおくと、t²=x+1より、x=t²−1。
よって、また、3x−1=3t²−4
よって、
(2) x²+1=tとおくと
よって、
(解答終了)
という不定積分は、t=sinxとおくと
よって
になる。
同様に、t=cosxとおくと
だから
になる。
問題3 次の不定積分を求めよ。
【解】
(1) sinx= tとおくと
よって
(2)
cosx=tとおくと
よって、
(3) 1+sinx=tとおくと
よって
(解答終了)
(2)、(3)は
と解いてもよい。
また、(3)は、sinx=tとおき
と解いてもよい。
次に、
というタイプの不定積分は、とおくと
とするとよい。
問題4 次の不定積分を求めよ。
【解】
とおくと
だから、
(解答終了)
タグ:微分積分
2016-10-03 12:00
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