定積分の置換積分法

定積分の置換積分法

§０　イントロ

次の定積分を考える。

問題０　次の定積分の値を求めよ。

　　

定積分の定義は、F(x)をf(x)の原始関数とすると、

　　

したがって、①の定積分を求めるためには、次の不定積分を求めなければならない。

　　

この不定積分を求めるには、t=x²+1とおくと、

　　

したがって、

　　

となり、t=x²+1を使って、tをxの関数に戻せば

　　

となる（積分定数は省略）。

したがって、①の定積分の値は

　　

と求めることができる。

ここで、②に注目して欲しい。

x=1のとき、t=2、x=0のときt=1だから、わざわざ、②をxの関数に戻す必要はなく

　　

と計算できる。

さらに、遡って

　　

だから、

　　

と計算できる。

つまり、t=x²+1とおくと

　　

と計算していいはずだ。

一般的に書くと、t=g(x)で、α=g(a)、β=g(b)のとき

　　

逆に、x=g(t)、a=g(α)、b=g(β)のとき、

　　

になるはずだ。

§１　定積分の置換積分法

x=g(t)とおくとき、a=g(α)、b=g(β)で、g(t)がα、βを両端とする区間で連続な導関数をもつならば、

　　

したがって、x=g(t)とおいたとき、

　　

t=g(x)とおいたとき、

　　

である。

問題１　次の定積分の値を求めよ。

【解答】

（１）　x=2tanθ（−π/2<θ<π/2）とおくと、x=0のときθ=0、x=2のとき、θ=π/4。

また、

　　

したがって、

　　

（２）　x=2sinθ（−π/2≦θ≦π/2）とおくと、x=0のときθ=0、x=2のときθ=π/2。

　　

したがって、

　　

（３）　x=3sinθとおくと、x=0のときθ=0、x=3/2のとき、θ=π/6。

したがって、

　　

（解答終了）

問題２　次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

（１）　とおくと、x=1のときt=0、x=2のときt=1。

　　

また、

　　

したがって、
　　

（２）　t=4−x²とおくと、x=0のときt=4、x=2のときt=0。

　　

したがって、

　　

（解答終了）

（２）は、x=2sinθとおいて

　　

そして、cosθ=tとおくと、θ=0のときt=1、θ=π/2のときt=0。

　　

として、

　　

と、置換積分を２度使って計算することもできる。

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