ワンポイントゼミ 定積分の置換積分のグラフ

ワンポイントゼミ　定積分の置換積分のグラフ

のグラフ

f(x)の変化を調べるために、xで微分すると、

　　

分母である1+x²>0だから、y'の符合は分子である1−x²と同じ。

　　

だから、−1<x<1でf'(x)>0、x<−1とx>1でf'(x)>0。

そして、x=±1でf'(x)=0。

以上のことから、増減表は次のようになる。

y''の符合も、同様に、分子にと同じなので、

　　

から、凹凸表は次のようになる。

また、

　　

だから、漸近線はx=0。

以上のことから、この関数のグラフは下図のようになる。



なお、ここで、青い点は極値、赤い点は変曲点をあらわしている。

なのですが、この関数は

　　

となるので、奇関数。

つまり、この関数は原点に関して対称なので、この対称性を利用することも可能である。

のグラフ

根号内は0以上でなければならないので、

　　

また、

　　

したがって、増減表は

変曲点は(0,0)。

タグ：微分積分