定積分の漸化式 [ネコ騙し数学]
定積分の漸化式
問題1
(1) I₁を計算せよ。
(2) 次の不等式を証明せよ。(3) n>2のとき
を証明せよ。
【解】
(1)
(2) 0≦x≦1だから1≦1+x²≦2。
よって、ゆえに、
(3)
(解答終了)
少し説明すると、(1)の積分では
を使っている。
この場合、f(x)=1+x²とすると、f'(x)=2xになるので、
t=1+x²とおくと、dt/2=xdx。x=0のときt=1、x=1のときt=2だから、
と、置換積分を使って計算をしてもよい。
(2)では、a≦x≦bにおいて、f(x)≦g(x)ならば、恒等的にf(x)=g(x)でなければ
を使っている。
また、
かつ、
だから、
である。
問題2
を示し、nが正の整数であるとき、この積分の値を求めよ。
【解】
とおくと、dx=-dθ。x=0のときθ=π/2、x=π/2のときθ=0。
とすると、
よって、nが偶数のとき
nが奇数のとき
I₀、I₁を計算すると
したがって、
nが偶数のときnが奇数のとき
(解答終了)
問題2の結果を用いると、
と簡単に計算することができる。
問題3
について、
を求め、それを利用して、nが正の整数のときのを求めよ。
ここで、
したがって、
nが奇数のとき
nが偶数のとき
(解答終了)
タグ:微分積分
2016-10-22 12:00
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