ワンポイントゼミ x=t²+1、y=2−t−t²のグラフならび・・・

ワンポイントゼミ　x=t²+1、y=2−t−t²のグラフならび・・・

定積分の応用　面積４で出てきた次の方程式

　　

から

　　

とし、tを消去すると

　　

したがって、方程式x=t²+1、y=2−t−t²で与えられる曲線は、次の２つの曲線からなると考えることができる。

　　

よって、この曲線とx軸で囲まれる面積Sは

　　

t=x−1とおくと、

　　

また、

　　

両辺を２乗すると

　　

と、一つの方程式でこの曲線をあらわすことができる。

ここから先は読むな！！

この曲線の正体は、原点を中心に４５°時計回りに回転させるとわかります。

１次変換の知識を使い、

　　

として、これを①に代入すると、

　　

となり、この曲線の正体が放物線であることがわかる。

このとき、x軸はy=−xに写されるので、放物線

　　

と直線y=−xで囲まれた面積と等しいことになる。

点A(2,0)、点B(5,0)の像A'、B'のx座標はそれぞれ2/√2、5/√2になるので、

放物線の定積分に関する次の公式

　　

を用いると、

　　

と求められる。

ちなみに、点(x,y)を原点を中心に半時計回りにθ回転して得られる点(x',y')は、行列を用いて書くと

　　

で、

　　

この場合、反時計回りに45°だから

　　

これから、A(2,0)、B(5,0)の像A'、B'のx座標は2/√2、5/√2となることが分かる。

あなた、読むなと言ったのに、読みましたね。




頭が呪われたにゃ！！

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