定積分の応用 体積の最大最小に関する問題

定積分の応用　体積の最大最小に関する問題

問題１　点(1,1)を通るだ円

　　

をx軸のまわりに回転してできる回転体の体積の最小値を求めよ。

【解】

　　

したがって、回転体の体積Vは

　　

また、

　　

が点(1,1)を通るので

　　

b²>0から、a>1。

②を①に代入すると、

　　

これをaで微分すると、

　　

したがって、a=√3のとき最小で、最小値は、2√3π

（解答終了）

問題２

（１）　曲線

　　

上のx座標がa（0<a<1）である接線の方程式を求めよ。

（２）　上の接線とx軸、y軸とで囲まれる図形を、x軸のまわりに回転してできる立体の体積を最大にするaを求めよ。

【解】

（１）

　　

したがって、

　　

よって、x座標がaである曲線上の点に接線の方程式は

　　

（２）　上の接線とx軸、y軸との交点をA、Bとすると、AとBの座標は、それぞれ、√a,0)、(0,1−√a)。

そして、求める体積Vは△OABをx軸わまりに回転してできる円錐に等しいので

　　

ここで、t=√aとおくと

　　

これをtで微分すると、

　　

したがって、t=1/3、すなわち、a=1/9のときに最小になる。

（解答終了）

問題３　２つの曲線

　　

のx軸に垂直な共通弦をABとする。ABと曲線②で囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる回転体について、次の問いに答えよ。

（１）　この回転体の体積をaであらわせ。

（２）　aがいろいろな値をとって変わるとき、この立体の体積の最大値を求めよ。

【解】

（１）　曲線①と曲線②の交点を求める。②より

　　

これを①に代入しy²を消去すると、

　　

a>1/2だから

　　

よって、求めるべき体積Vは
　　

（２）

　　

だから

　　

とおき、この関数の増減を調べることにする。

f(a)をaで微分すると、

　　

この増減表を書くと

よって、f(a)はa=3/2のとき、最大。

したがって、Vはa=3/2のときに最大で、最大値は

　　

（解答終了）

 

タグ：微分積分