第４回 無限級数

第４回　無限級数

§１　無限級数の収束、発散

無限級数が与えられているとき、

　　

とおくと、数列が得られる。

この数列が収束するとき級数は収束するといい、収束しないとき発散するという。

そして、が収束するとき、すなわち、であるとき、この極限値Sを無限級数の和という。

例１

　　

上の無限級数の第n部分和は

　　

｜r｜<1のとき

　　

だから、このとき数列は

　　

であり、がこの無限級数の和である。

｜r｜≧1のとき、は収束せず、したがって、発散する。

以上のことから、

無限等比級数

　　

は｜r｜<1のときに限ってに収束し、その和は

　　

つまり、

　　

例２　無限級数

　　

は、発散する。
　　

したがって、

　　

で、

　　

よって、は収束しない。

だから、①の無限級数は発散する。

 

§２　無限級数の基本的性質

定理１

　　
とするとき、

　　

である。

定理２　無限級数が収束するためには、でなければならない。

【略証】

　　

とおくと、

　　

さらに、

　　

とすると、

　　

（証明終了）

 

例２であげた無限級数

　　

は、

　　

であるが、この無限級数は収束しない。

したがって、定理２の条件は無限級数が収束するための十分な条件ではなく、必要な条件であることに注意。

問題１　次の無限級数に和があればそれを求めよ。

【解】

（１）　これは初項a=1、公比r=1/2の無限等比級数。

｜r｜=1/2< 1だから式（１）より

　　

（２）　公比r=−√2、｜r｜=√2>1だから収束しない。

（３）　公比r=−1だから収束しない。

（４）
　　　

したがって、

　　

つまり、｜x｜>1のとき、この級数は収束し、和は

　　

｜x｜≧1では収束しない。

（解答終了）

 

問題２　次の無限級数は収束するか。

【解】

（１）　第n部分和は

　　

また、

　　

よって、

　　

（２）

　　

したがって、

　　

よって、振動し、収束しない。

（解答終了）

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