無限大、無限小

無限大、無限小

§１　高位、同位、低位の無限大、無限小

aを実数または±∞とする。

ならば、x→aのときf(x)は無限小であり、（または）ならばx→aのときfは無限大という。

f、gが無限小のとき

　　

であるという。

fとが同位の無限小であるとき、fはgに対してα位の無限小であるといい、αを位数という

例１

 　　

だから、sinxはxと同位の無限小。

　　

だから、1−cosxはx²と同位でxに対して２位の無限小である。

 

f、gが無限大のとき

　　

であるという。

fとが同位の無限大であるとき、fはgに対してα位の無限大であるといい、αを位数という。

例２

　　

だから、√xはxより低位の無限大で、

　　

になるので、√xはxに対し1/2位の無限大。

また、
　　

だから、xは√xより高位の無限大で、xは√xに対して2位の無限大である。
nが任意の正の正数であるとき
　　

が成立するので、指数関数は任意の高位の無限大である。

§２　ランダウ（Landau）のスモールオーo、ビッグオーO

　　

であるとき、

　　

で表し、oをランダウ（Landau）のスモールオーという。

また、

　　

であるとき、

　　

で表し、Oをランダウのビッグオーという。

例３

　　

だから、

　　

また、

　　

だから

　　

 

問１　次が成立することを示せ。

　　

【解】

（１）

　　

だから、
　　

よって、

　　

（２）

　　

よって、

　　

（解答終了）

 

定理　f(x)が0を含む開区間Iで級関数であるとき

　　

である。

【証明】

マクローリンの定理より

　　

をみたすθが存在する。

したがって、

　　

は、f(x)がIで級だから、Iで連続。

かつ、

　　

だから、

　　

よって、証明された。

（証明終了）

 

以上のことから、次のことが成り立つ。

　　

任意の正の自然数に対して

　　

ここで、

　　

である。

（２）では偶数次の項の係数が０、（３）では奇数次の項の係数が０で、（２）では偶数次の項、（３）では奇数次の項が出ないので、強めると、次のようになる。

　　

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