第１０回 ベータ関数、ガンマ関数の定積分の計算への応用２

第１０回　ベータ関数、ガンマ関数の定積分の計算への応用２

三角関数の積分へのベータ関数の応用について述べることにする。

その前に、今回使う公式を示し、その証明を与える。

公式　（ベータ関数の三角関数による表現）

　　

【証明】

ベータ関数

　　

に、x=sin²θとして、置換積分を施す。

このとき、x=0にはθ=0、x=1にはθ=π/2が対応し、

　　

したがって、

　　

（証明終了）

問１　次の積分の値を求めよ。

　　

【考え方と解】

（１）は2p−1=3、2q−1=0、つまり、p=2、q=1/2、（２）は2p−1=4、2q−1=0、つまり、p=5/2、q=1/2と考えればよい。

そうすると、（１）と（２）は、ベータ関数を使って次のように積分の値を求めることができる。
　　

（解答終了）

上の計算では、ベータ関数とガンマ関数の重要な次の関係

　　

と、ガンマ関数の以下の性質

　　

を使っている。

同様に、

　　

と、定積分の値を求めることができる。

問２　次の値を求めよ。

　　

【解】

（１）　2p−1=5、2q−1=3を解くと、p=3、q=2。

したがって、

　　

（２）　2p−1=4、2q−1=2を解くと、p=5/2、q=3/2だから

　　

で、

　　

よって、

　　

（解答終了）

このように、ベータ関数とガンマ関数を用いると、三角関数の定積分の値を求めることができるという話でした。

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