広義積分の収束に関する解答例

質問の解答例

問１　次の広義積分は収束するか、収束しないかを判定せよ。

【解答】

t>0とする。

　　

よって、発散する。

（解答終了）

【別解】

　　

閉区間[0,1]では連続だから右辺第１項の積分は通常の積分。だから、右辺第２項の収束性について考えればよい。

1≦xのとき、1≦x⁴だから

　　

そして、

　　

したがって、

　　

は発散し、

　　

も発散する。

【別解終了】

また、

　　

の収束性に関しては、上記の別解の手法を真似て、次のように解けばよい。

【解答例】

　　

x≧1では

　　

そして、

　　

よって、

　　

は収束し、

　　

は収束する。

（解答終了）

問２　次の広義積分は収束するか、収束しないか、このことを示せ。

　　

【解答例】

x≧eのとき

　　

そして、

　　

したがって、

　　

は発散する。

（解答終了）

　　

は、t=1+x⁴とおいて置換積分すれば出てきます。

　　

はt=logxとおいて置換積分すればよい。

 

また、右辺を微分し、左辺の被積分関数と一致することを示してもよい。

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