高校数学の定積分 [ネコ騙し数学]
高校数学の定積分
高校数学の定積分の定義は、以下のようなものである。
関数f(x)は有界閉区間[a,b]において連続で、[a,b]を
とn等分とし、
とおくと、
例えば、[0,1]で定義されたf(x)=x²の定積分
は、定義(1)にしたがって次のように求めることができる。
(1)を使うと、次のような問題を解くことができる。
問題1 次の極限値を求めよ。
【解】
(1)[0,1]をn等分し、
とし、
とおくと、
(別解)
[1,2]をn等分しとし、
とおけば、
(2)
[1,0]をn等分し
とし、
とおくと、
(別解)
[1,2]をn等分しとし、
とおけば、
(解答終了)
(3)
[0,1]をn等分し、
とし、
とおけば、
ここで、
とおくt、x=0のときt=1、x=1のときt=2、dx=dtだから
(解答終了)
問題2 f(x)=x⁴のとき、次の極限を求めよ。
を真面目に計算しろというのでしょうが、そんな面倒なことはやってられないケロ(^^ゞ
【解】
[0,1]をn等分しとし、
という区間を考えると、を
となるので、は点を1:2に内分する点で、また、f(x)=x⁴は[0,1]で単調増加。
したがって、また、
さらに、
となるから、はを2:1に内分する点。したがって、
となり、同様に
よって、
(解答終了)
(1)は、
のやとしたものだが、問題2はのとり方によらず積分の値は一定で
になるということを主張しているのであった。
タグ:微分積分
2017-03-13 12:00
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