関数f(x)=√xが一様連続であることの証明

関数f(x)=√xが一様連続であることの証明

 

一様連続の定義

関数f(x)は区間Iで定義されている関数とする。任意のε>0に対して次の条件をみたすδ>0が存在するとき、f(x)はIで一様連続という。

　　

 

関数の一様連続に関して、次の重要な定理に次のものがある。

 

定理

関数f(x)が有界閉区間Iで連続ならば、f(x)はIで一様連続である。

 

上の定理ではIが有界な閉区間であることが重要。

 

例　で定義されるf(x)=1/xは、Iで連続であるけれど、Iで一様連続ではない。

x₁、x₂∈(0,1]であるx₁、x₂を

　　

にとると、

　　

となり、nをどんなに小さくしても、これは１より小さくならないので、一様連続ではない。

I=[1,∞)にすると、

　　

そこで、任意のε>0に対して、δ=εにδ>0をとると、

　　

したがって、f(x)=1/xは区間[1,∞)で一様連続になる。

 

上の例のように、区間Iが有界な閉区間でなくても、Iで一様連続である関数は存在する。

 

 

問１　次の関数が一様連続であることを示せ。

　　

【解】

平均値の定理より

　　

となるcがx₁とx₂の間に存在する。

　　

（１）より

　　

任意のε>0に対して、δをδ=εにとると、

　　

よって、一様連続である。

（解答終）

 

【別解】

　　

よって、任意のε>0にたいしてδ=εとすれば、

　　

（別解終）

 

 

問２　とする。f(x)が区間(1,∞)で一様連続であることを証明せよ。

【解】

x₁、x₂∈(1,∞)とする。

平均値の定理より

　　

となるcがx₁とx₂の間に存在する。したがって、c>1。

よって、

　　

そこで、任意のε>0に対して、δをδ=2εにとると、

　　

したがって、√xは区間(1,∞)で一様連続である。

（解答終）

 

問３　平均値の定理を使わず、有理化を行うことで、問２を証明せよ。

 

問４　とする。関数f(x)は区間[0,1]で一様連続であることを証明せよ。

【解】

f(x)=√xは有界閉区間[0,1]で連続。したがって、定理よりf(x)=√xは[0,1]で一様連続である。

（解答終）

 

問２、問４より、は[0,∞)で一様連続ということになる。

 

問４は、技を使わないと、ちょっと証明しづらいので、定理を使って証明した。

そして、その技を使うと、ダイレクトには[0,∞)で一様連続であることを証明できる。

 

【証明】

a≧0、ε>0に対して

　　

である。

x₁、x₂∈[0,∞)とする。

任意のε>0に対してδ=ε²とおくと

　　

x₁≧x₂のとき

　　

だから、

　　

x₁<x₂のとき同様に

　　

①と②より

　　

したがって、任意のε>0に対して、δ=ε²とすると、

　　

よって、f(x)=√xは[0,∞)で一様連続である。

（証明終）

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