［ラプラス型境界要素法の境界積分の詳細］

［ラプラス型境界要素法の境界積分の詳細］

　ラプラス型境界要素法の基礎式は以下でした。

 

　内点方程式：(ξ，η)はRの内点。

　　

　境界方程式：(ξ，η)はRの境界C上。

　　

　ここで求めたい未知関数ψ(x，y)はポアソン方程式、

　　

を満たします。g(x，y)は既知関数です。(ξ，η)を特異点と呼びます。

 

　図-1に示した領域Rが、解きたい偏微分方程式(3)の解析領域でCはRの境界とします。式(1)，(2)の∫_C dcは境界C上の線積分，∫_R dxdyはRでの領域積分です。式(2)のkはk(ξ，η)で、その点での境界Cの内角を表します。

　ψ^*はラプラス方程式の基本解で、

 

　　

を取れます。qとq^*は、図-1に示した境界C上での外法線の方向βへの、ψとψ^*の外法線微分値になります。また式(4)のrの方向をγとします。境界上のψとqが具体的に定めたい未知数になります。何故ならそれらが求まると式(1)から、領域内任意点のψの値を計算できるからです。

 

　最初に式(1)の境界積分項を検討します。右辺の領域積分は、比較的簡単に処理できます。

　ψとqを具体的に近似するために、領域Rを折れ線近似し、折れ線の各線分を境界要素と呼んで要素番号kを与えます（図-1）。線積分の定義に従い、kの番号付けはCを左回りに一周が便利です（k＝1，2，・・・n）。

　図-1の境界要素を一個取り出して、外法線方向βがちょうど上向きになるように描いたのが、図-2です。

　∫_C dcは境界積分なので、図-2の境界要素上の点(x，y)が積分点です。線積分の定義より積分点(x，y)は、右から左へ走る事になります。それに伴って積分パラメータcは、要素kの長さをL_kとすれば、c＝0→L_kと増加し、これが要素k上での∫_C dcの積分区間になります。

 

　要素kの長さL_kが十分小さければ、要素k上でψ(c)とq(c)の変化は線形近似くらいで十分です。ψ(c)とq(c)を線形近似するために境界要素の両端に節点を配置し、節点番号jを与えます。線積分の定義に従い、jの番号付けもCを左回りに一周させるのが、一番便利です。明らかにj＝1，2，・・・nで、境界要素数と同数の節点が配置されます。節点jとj+1でのψ(c)およびq(c)の値を、(ψ_j，ψ_j+1)および(q_j，q_j+1)で表します。

 

　線形近似だったので要素k上では、

　　

です。これを(1)の境界積分項に代入すると、要素k上で、

　　　

 となります。

　かなりごちゃごちゃしてますが（数値計算なんてそんなもの(^^;)）、式(1)，(2)が基礎式である限り、具体的に積分できなければお話にもなりません。そういう目で(8)，(9)を見直すと、基本解に関するψ^*(c)とq^*(c)の具体的形が必要なのがわかります。

 

　まずψ^*(c)については式(4)よりrのみの関数なので、rをcで表せば良い事になります。特異点(ξ，η)から境界要素kへ下した垂線の長さをh，垂線の足の位置を要素局所座標系cで表した値をsとします。c＝0の時とc＝L_kの時のrをr₁，r₂として、rの方向をγで表すのにならって、r₁とr₂の方向をγ₁，γ₂とします。

 

　図-2から、

　　

ですが、r₁，β，γ₁は境界要素kの配置と特異点の位置だけで決まるので、これらはcに対して定数です。

　従って、

　　

に関する積分をすれば良い事になります。

　次にq^*(c)については、ψ^*(x，y，ξ，η)の境界上での外法線方向微分値なので、最初に、(x，y)におけるψ^*(x，y，ξ，η)のx方向偏微分とy方向偏微分を計算します。

　　

ここでrは式(4)で表したものであり、cosθ＝(x－ξ)/r，sinθ＝(y－η)/rです。(x，y)が境界上にある場合は、rは式(12)で表され、図-2から明らかにθ＝γになりますが、

　　

も図-2から得られます。従って外法線β方向への方向微分の公式に(14)～(17)を使うと、

　　

が得られます。

 

　よって式(8)，(9)の積分は、

　　

の積分計算に帰着できるのがわかります。

　(21)と(22)は、有理関数の積分になってます。なので、「やりゃ～必ず求積できる」事にはなります。(19)と(20)は、logの前にかかった1とcを先に積分する部分積分を実行すれば、やはり有理関数の積分に帰着でき、「やりゃ～必ず求積できる」事にはなりますが・・・。あえてやりたい計算ではないですよね？(^^;)。

 

　しかしやるんです。やるべきなんです！。どうしてかと言うと、大学以上の数学において「計算すりゃぁ～答えが得られる」なんていう事態は、ほとんど万に一つの幸運だからです！。もっと賢いカッコ良い方法は、計算結果を得た後でいくらでも考え付けます。そういう事を出来るようになるためにも、地道に計算するんですよ。それが大人の数学だと思います。

 

　ただし「岩波公式集」なんかは使って良いよ、という事にもなります。これも大学以上の数学の大人の対応です(^^)。

 （執筆　ddt³さん）

タグ：数値解析 境界要素法