[境界積分の積分部品(ラプラス型)] [ネコ騙し数学]
[境界積分の積分部品(ラプラス型)]
前回の最後で、境界積分を解析的に実行すると決心したのでした(^^;)。そこで境界積分に必要な積分部品をトップダウンで特定し、一つ一つ解析的に積分してボトムアップする事にします。そういう訳でここでは、記述を系統立てる記号の定義に終始します。
図-1に示した一つの境界要素kでの境界積分は、境界上で解関数ψとその外法線微分qを線形近似した場合、
となりました。Lkは要素kの長さ、ψjやqjは図-2に示した節点jとj+1でのψ(c)とq(c)の値です。
(1),(2)の境界未知数ψj+1,ψj,qj+1,qjの係数を、要素k上の未知量ψjやqjに関する係数という意味で、
と書きます。(3)~(6)を使うと(1),(2)は、
と書けます。図-2に示した幾何学的な積分パラメータによって、bj(k)やhj(k)の具体的形を与える事が、当面の目標です。
これも前回の結果から、
です。(9),(10)を(3)~(6)に代入します。
式(11)~(14)を眺めると、
という定積分を求積出来れば良いとわかります。ところで積分計算の一般的傾向として、「分母は出来るだけ簡単に、logの中身も出来るだけ簡単に」した方が、「計算としてまだマシ!」ってのがありますよね?。
よって上記は、c-s=tと置換して、
とやるのが安全です。式(19)~(22)の積分部品を拾うと、
さらに定積分は不定積分がわかれば良いので、式(23)~(26)の不定積分を(t)付きで表し、以上を全部のまとめて、ボトムアップ公式として書き出します。
大変そうに見えますが、式(27)~(30)が計算できたとすれば、その結果を、式(31)~(34) → 式(35)~(38) → 式(39)~(42) → 式(43),(44)と順番に代入して行けば良いだけです。こういう事はコンピュータの最も得意とするところです。
よってあと人間のやるべき事は、式(27)~(30)の不定積分を決定する事だけですよ(^^)。
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