材料力学のお話

材料力学のお話

 

ひずみと応力についての理解を深めるために、材料力学の話をすこしだけすることにする。

 

右図のように長さl₀、断面積Aの棒を力Fで引っ張ったところ、長さがlになったとする。

このとき、

　　

を垂直ひずみといい、

　　

を引張応力という。

力の向きが図とは逆の場合は、圧縮。

この棒が弾性体の場合、応力が弾性範囲内にあるとき、「応力はひずみに比例する」というフックの法則が成り立つので、

　　

という関係が成立し、この比例定数を縦弾性係数という。

 

また、右図のように、面DC（紙面に垂直な方向の厚さを１とする）に力Fがかかり、ABCDがABC'D'に変形したとする。

このとき、

　　

をせん断歪ひずみという。

θ（単位はラディアン）が微小なとき、

　　

と近似できるので、せん断ひずみγは

　　

また、面DCの面積をAとするとき、

　　

をせん断応力といい、弾性範囲内ならば

　　

が成立する。この比例定数Gを横弾性係数（せん断弾性係数、ずれ弾性係数）という。

 

 

さて、右図のように、上の棒の横断面BB'に対しθの角度をなす断面BCでの力の釣り合いを考える。

BCに垂直な方向の力をN、CBに平衡な力をTとすると、

　　

という関係がある。

また、断面BB'の断面積はAだから、断面BCの断面積A'は

　　

しがたって、断面BCに垂直な応力をσ、BCに平行なな応力をτとすると、

　　

ここで、

　　

とおくと、

　　

ということで、せん断応力τが最大になるθは、2θ=90°のときだから、

　　

そして、一般に金属などの材料は、引張や圧縮には強いけれど、横方向の力（せん断力）には弱いものらしい。

したがって、上の棒のように引っ張っていても、斜め４５°ちかくの方向にまず亀裂が発生し、そこから亀裂が走り、破壊するものらしい。

 

画像元：http://ms-laboratory.jp/strength/4_1/4_1.htm

 

それはそれとして、（８）、（９）式より、

　　

sin²2θ+cos²2θ=1という関係があるから、

　　

が成立する。