第3回 極限の公式の証明 [ネコ騙し数学]
前回紹介したε‐δ論法を使って、極限の公式を証明してみますにゃ。
天下り的に公式をいただくのは、自由を愛するネコの性分に合わないですにゃ。
ということで、
第3回目は、極限の公式の幾つかを証明してみますにゃ。
極限に関する公式はいくつかありますにゃ。
、
、
ｃが定数のとき
（Ⅰ） 
（Ⅱ） 
（Ⅲ） 
（Ⅳ） 
（Ⅴ） 
のとき
というのがそうですにゃ。
をε‐δ論法の言葉で書き換えると、
任意の正の数εに対して
を満たすδが存在する
ですにゃ。
では、（Ⅰ）を証明してみますにゃ。
のとき、
ですから、この極限が0であることは明らか。
のとき、
（あ）
が成立する。（注：εは正の任意の数だから、εを
に置き換えてよい！！）
したがって、
これで、証明が終わりですにゃ。
人によっては、もっと簡単に
（い）
の2行で済ましますにゃ。
εは任意の数だから、（あ）のところで
にしようが、（い）のところで\
としようが構わないんですにゃ(^^ゞ
では、（Ⅱ）の証明。
だから
だから
が成立する。
だから、
これで、証明終わりですにゃ。
ここで、また、三角不等式
（う）
を使っていますにゃ。この不等式は、至る所で顔を出すとっても大切な不等式なんですにゃ。
実は、この三角不等式には
というものがありますにゃ。
これを使うと、
を証明できますにゃ。
だから、
これで証明がおしまいですにゃ。
（Ⅲ）の証明は、
と、さり気なく誤魔化しますにゃ(^^ゞ
ここでは、
を使っていますにゃ。
証明は、三角不等式の（う）を使って、
あとは、面倒なのでやりませんにゃ。
（Ⅳ）の証明には、
とすると、楽ですにゃ。
そして、三角不等式を使いますにゃ。
そうすると、たぶん、
というのが出てくるはずですにゃ。
この時、
と仮定して、
とすると、いいですにゃ。
―――議論するのは、x = aの極近くなので、ε<1というような乱暴な仮定をしてもよい。ここがε‐δ論法の強み！！―――
そうすると、
となりますにゃ。
（Ⅴ）は、
になりますので、
をまず示し、
あとは、公式（Ⅳ）を使えばいいですにゃ。
この証明は、「関数の連続」で行なうつもりですにゃ。
次回、第４回目は、関数の連続の予定です。
第５回目は、連続関数の性質かな(・・?
式が長くなると、紫色になる件は大目に見てください。
この部分が読みづらかったら、この式をクリックすると、式の写真が表示されますので、これをご覧になってください。
近いうちに、この問題個所を直すと思います、きっと。
タグ：微分積分
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