第4回 関数の連続ですにゃ

第4回目は、関数の連続ですにゃ

 

大学の数学の先生が最も力を入れて講義をするところですにゃ。

そして、ここで、ほとんどの大学の先生が力尽きてしまいますにゃ(^^ゞ

反対に、

アブラカタブラε‐δ論法で死んでいた学生さんが、このあたりから、少しずつ息を吹き返します、復活しますにゃ。死に真似をやめ始めますにゃ(^^♪

 

では、連続の定義ですにゃ。

 

「f(x)がaおよびその近くで定義されているとき、

が成り立つとき、f(x)はx＝aで連続である。」

 

「な～んだ、極限の定義と同じじゃないか」と思われるかもしれませんが、

「極限ではx＝aで関数f(x)が定義されていない、定義されていなくてもいい」というところが違います。極限の場合は、x＝aの近くで関数f(x)が定義されているだけでいいんですにゃ。

極限の定義は、

ですから、f(a)は出てこないんですにゃ。

 

ε‐δ論法による定義の違いを見ると、この違いがよく分かりますにゃ。

極限の定義は

 

連続の定義は

ですから、違いますにゃ。

極限の定義から|x-a|の前の「0 < 」が消えて、bがf(a)に変わっているにゃ。

 

これはx＝aで関数f(x)が定義されている、その値がf(a)だから、この部分が変化するんですにゃ。

関数の極限と連続は、定義が少し変わっただけですから、第3回で証明した極限の公式はそのまま流用できます。

 

 

不連続の関数としての例として、

などがあります。この関数はどちらもx ＝ 0で不連続ですにゃ。

　―――数学の大鉄則「0で割ってはいけない」！！―――

 

 

 

1/xの場合は1/0、sin(x)/xの場合は0/0でゼロ割りになってしまう。

なのですが～、

の場合、

 になりますので、

と定義すれば、

はxのすべてで連続となります。

 

こういう言い方はすこし危険なのですが、0/0の場合、f(x)＝sin(x)/xの場合のように、値が定まる場合があるんだにゃ。

このあとにやる微分なんかは、すべて、このケースになるんですにゃ。

 

話を元に戻しまして、関数ｆが定義されているｘの範囲（「定義域」といいますにゃ）のすべての点で連続のとき、ｆを連続関数といいますにゃ。

 

このことを少し不思議に思われるかもしれませんが、関数ｆの連続はx＝aのごく近く（これをaの近傍といいますにゃ）の局所的性格で、定義域すべてについての連続性を保証をしていないんですにゃ。

 

たとえば、第1回で例として出した

という関数は、定義域[0,1]のx ＝1/2で不連続なので、連続関数ではないですけれど、x＝1/2以外の各点で連続なんですにゃ。

第1回目で書きましたけれど、

ですから、

そもそもが存在しないので、

というのは成立しないんですにゃ。

 

このあたりは重箱の角突きなので、このことを頭の片隅に置いてもらえると嬉しいですにゃ。

 

さらに重箱の角突きをするべきかいなか・・・。

 

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【警告】 

　ここは読むな！！

　読んだ人は、呪われます(^^♪

 

実は、上の例ですと、定義域の左端x ＝ 0と右端x ＝1でもちょっと問題があるんですにゃ。
 

a ≦ｘ≦bのような場合、x＝aとx ＝bでの関数の連続の定義を

と片側の極限に変えないといけない。

というのは、連続の定義

だから。

となり、

の部分で関数fが定義されていないので、かなりまずいことになる。無いものと在るものを比べることになってしまう！！

 

この話は聞かなかったことにしてください。

連続にも、極限と同じで、左側連続、右側連続というものがあるんだ、くらいにしといてください。

 

読んだ方は、ネムネコの呪いにかかった(^^ゞ 

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「おい、バカ猫。

お前、第3回の時に

の証明をやると確か言ったよな。約束したよな」

 

 

忘れてねえよ。上等だ～、やろうじゃないか。芸を見せてやるよ！！

というのだから

 

だろう。

さて、弱った、弱った振りをする(^^ゞ

 

ここで、ワザを使うんだよ。

このまんまじゃ塩梅が悪いから、

のεをとれるようにδを決めてやれば、

だろう。

ここで、

と

であることに注意ですにゃ。

 

なお、

このとき、m ＝ g(a)に置き換えれば、連続の証明になりますにゃ。

 

 

ここらで、ちょっと問題を出してみますにゃ～。

 

とは同じ関数ですかにゃ？

 

だから、f＝g？

 

さて、

 

微分をご存知の方は、

この極限がのx ＝aの微分であることに気付かれるんでしょうにゃ～。

 

ちなみに、fとｇは同じ関数じゃないですにゃ。

理由は、定義域の違い！！

ｆの定義域にx＝aの点はないけれど、gの定義域は実数全域ですからにゃ。

は、「x＝aの点はｆの定義域じゃないよ」ということを示すために、わざわざ、こう書いてあるんですにゃ。

 

では、もう一つ、問題！！

 

問題１

 

は,x＝0で連続ですか？

ｆは連続関数ですか？

 

ちなみに、

はx＝0で連続ではありませんにゃ。

 

 

どうせだから、

が連続関数であることを証明しちゃいますにゃ。

これは正弦関数が実数全域で一様連続であることをも表わしていますにゃ。

 

式が長くなると、 文字が紫色になるのは、勘弁して欲しいにゃ。

これはネムネコの力じゃどうにもならないですにゃ。

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