第２９回 関数列と極限

第２９回　関数列と極限

 

定義域 [a, b] （a ≦ x ≦ b）で定義されるという関数列があり、これが[a, b] 上でになるのだったら、

が成立するかどうかという話だにゃ。

 

とすると、これはx が実数全域で f(x) = x に各点収束することは前にやったにゃ。

試しに、計算すると、

となり、この場合は、①が成立しそうだにゃ。

 

じゃぁ、常に①が成り立つ？

問題　[0,1]で定義される

は、

が成立するか？
【解】

この関数列の極限関数f(x) は

より、f(x) = 0 。

よって、

となる。

だから、一般に①は成立しないんだケロ。

ちなみに、

ね。

置換積分を使うならば、

とかやればいいにゃ。

 

そして、も、一様収束でなく各点収束なんだにゃ。

つまり、各点収束の場合、①式が成り立つ場合もあれば、成り立たない場合もあるということだケロ。

【宿題】　[0,1]で定義される

は一様収束でなく、各点収束であることを示すケロ。

と宿題を出したいところだけれど、どうせ、やんないだろ（ポリポリ）。

をｘで微分すると

このことから

で極値をとる。

これは奇関数だから、x ≧ 0 だけで十分なんだけれど・・・。 

だから、

となって、これは一様収束ではなく、各点収束である。

収束の様子は


みたいな感じ。

nの値を大きくすると、全体的に0 に収束してゆくけれど、n を大きくすればするほどピークが高くなってしまうので、一様収束にならないんだケロ。

 

グラフを書いてみて気づいたんだが、きれいな絵だ。
こういう図を見て感動を覚えない人は、数学を必要としない人だと思う。

 

関数列が一様収束だと、

は、必ず成り立つんだけれどね。

 

微分の方は一様収束でも

は成り立たないんだけれど。
微分の方が強い条件がいるんだケロ。

例　[0,1]で定義された

これは、極限関数が0 で一様収束するのだけれど、

x = 1 のところで、②式は成立しない！！

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