第３４回 べき級数と収束半径

第３４回　べき級数と収束半径

べき級数とは

と表される級数のことだにゃ。

とおいた奴と考えられるにゃ。
で、このべき級数はとxの値によって収束するxの範囲が変わってくるにゃ。

たとえば、

例１

というべき級数は、–1<x<1では収束するけれど、これ以外では収束しないニャ。

これに対して、

例２

は、x∈Rで収束する。
つまり、によって収束するxの範囲が変わってくる。
それで、–r < x < r (r >0)の範囲でべき級数が収束するとき、このrを収束半径と呼ぶんだケロ。

例１だと収束半径は1で、例２の場合はr=∞になるにゃ。

第１７回でダランベールの判定法というのをやったにゃ。

正項級数において

とするとき、0≦r<1ならばは収束する、

というやつだにゃ。

そして、絶対級数が収束すればが収束するということもやったにゃ。

一般のべき級数は正項級数ではないけれど、絶対値をつければ、つまり

とすれば、正項級数になるケロ。そうすれば、このダランベールの判定法が使えるんだケロ。

だから、

という極限値が存在するとき、この値の逆数が収束半径になるんじゃないでしょうか、という話だにゃ。

で、実際に例１を計算してみると、1/1なので1となり、この逆数である1が収束半径になっている。

例２の場合は、

となり、この逆数は∞となり、収束半径と一致している。

収束半径をRとすると、

となりそうだと。

コーシー・アダマールの判定法のほうがより一般的で適用範囲が広いんだけれど、
これは計算が面倒なので、計算が簡単なダランベールの判定法のほうがよく用いられる。

で、収束半径内でべき級数は一様収束するので、これは微分もできるし、積分もできるんだケロ。そして、項別微分、項別積分が可能になる。

この証明は次回ということで。

問題　次のべき級数の収束半径を求めるケロ。

【解】

勘のいい人は気づいているかもしれないけれど、この問題の（１）は例１を微分したもの、（２）は積分したものだケロ。

タグ：極限 数列 級数