第３５回 べき級数の性質

第３５回　べき級数の性質

前回、べき級数の収束半径の話を少ししましたが、より厳密な話をするために次の定理を上げるケロ。
定理１

べき級数（整級数）がx=r(r≠0)で収束するならば、|x|<|r|では広義一様収束

【証明】

はx=rで収束するので、任意のｎに対して

　　

を満たすKが存在する。

で、|x|≦ρ<|r||となるようなρをとると

　　

となり、
さらに、ρ<|r||なのでρ/|r|<1となり、

　　

は収束し、ワイエルシュトラスの定理より[-ρ,ρ]上で（広義）一様収束する。

さらに、定理をもうひとつ。

定理２
べき級数がx=r(r≠0)で発散するならば、|x|>|r|では発散する。

【略証】
|x|>|r|で収束するとすると、定理１より、|x|<|r|では収束することになるが、
仮定よりx=rで発散している。これは矛盾。
よって、発散する。

この定理１，定理２の２つがあって、べき級数の収束半径が定義できるんだけケロ。

|x|<Rでべき級数が収束し、|x|>Rで発散するとき、このRを収束半径という。

収束半径Rの求め方については、前回やったので、ここではあらたに述べないにゃ。

で、|x|<Rでが一様収束するとき、この極限関数は連続になるし、積分、微分も可能になる。

べき級数は関数項級数の一つなのだから。

本当は、収束半径が変わらないことを証明しないといけないんだけれど、煩瑣なだけだし、さり気なく次の定理を出す。

定理３　（項別微分・項別積分）
べき級数が収束半径を0<R≦∞とする。この時、-R<x<Rならば

まっ、そういうことだケロ。

ただ、微分のところでΣの下に付いている奴がn=0からn=1に変わっていることに注意してほしいケロ。

という表記は、内緒だけれど、ズルしているんだケロ。

n=0のとき、としているんだ。うるさいことを言うと、これはちょっとまずいんだケロ。

x=0のとき、としているんだけれど、実は、この値は存在しない(^^ゞ

なので、本当ならば、

整級数（べき級数）は

　

と書くべきなんだケロ。

それはそれとしまして、

これを微分すると、は定数なので0となり、

　

になる。

　　だからね。
今回は少し短いけれど、べき級数の微分・積分などの具体的な計算は次回以降ということで。

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