第３８回 指数関数と三角関数

第３８回　指数関数と三角関数

前回、正弦関数sinxは

　　

になるという話をしたにゃ。そして、これは収束半径が∞だから、実数全域で項別微分ができて、
　　

となるケロ。

 

で、指数関数のべき級数は

　　

になるんだけれども、これを実数から複素数（虚数）まで拡大すると、

　　
となるんだ。iは虚数単位で、√(−1)にゃ。

つまり、

関数の定義域を複素数まで拡大すれば、指数関数と三角関数には深い結びつきがあるんだケロ。
この両者は、無関係じゃないんだにゃ。

　　

になるので、

正弦関数、余弦関数は、

　　

と、指数関数で表すことができるんだケロ。

 

愛（i）によって、全く別物と考えられたものが結びつくんだから、すごいと思わないケロか？

なお、y=πを①式に代入すると、

　　

というとっても美しい式が出てくるにゃ。
数学で最も基本的な数字、０、１、そして、円周率πと自然底eが結びつくんだ。

ちなみに、数学にはド・マーブルの定理

　　

というものがあるけれど、

これは簡単に証明できるんだにゃ。
　　

となるだろう。

そして、

　　

となるけろ。

よって、

　　

が証明された。

三角関数の倍角公式は、このド・マーブルの定理を使うと、

　　

と出てくるケロ。

　　

の定義域を実数から複素数z
= x + iyに拡張すると
　　

と三角関数を拡張することができる。

この世界では、
三角関数の有名な関係

　　

は、もはや成立しない！！

今すぐに、定義域を実数から複素数まで拡大した微分積分の話をするのはさすがに無理なのですが、年内にはやりたいと思います。
ネムネコが突然死んだりしない限り、やると思います。

それから、数列、級数、関数項級数、そして、べき級数などの諸定理は、一次元であろうが、二次元、三次元、それどころか、複素数を対象としたものでも、基本的に成り立つんだケロ。

ということで、

数列と極限の話は、これでおしまいだにゃ。

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