第７回 開球と集合の内点

第７回　開球と集合の内点

開球とは

距離dを決めることが可能な集合Xがあって、a∈Xとするにゃ。
で、εを正の実数とするケロ。

このとき

　　

を開球（開球体）というにゃ。

dを通常の距離（ユークリッド距離）だとするにゃ。

で、一次元だと、開球は

　　

という開区間になるにゃ。

開球に球という言葉がついているけれど、これはいわゆる三次元の球体、たとえば、原点を中心とする半径ｒの球

　　

とは違う。

１次元、２次元、３次元といった次元から離れたもっと一般的な球なんだにゃ。

２次元だと、デカルト直交座標系における点aの座標を

　　

とし、点xの座標を

　　

とすると、は
　　

という点を中心とする半径εの円の内部、開円板になるケロ。

同様に３次元ならば、

　　

になるんだケロ。

そして、これから話す内容は、次元や距離の決め方の違いを超えたもっと一般的な話にゃ。

それから、この開球のことをaのε近傍と呼んだりもする。

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内点とは

A⊂XというXの部分集合があるとする。

a∈Aに対して

　　

とすることの出来るε>0が存在するとき、aをAの内点と呼ぶんだケロ。な

たとえば、A=(0,1)⊂Rという開区間、つまり、0<x<1、より正確に書くならば

　　A={x∈R|0<x<1}

があるとする。
で、任意のa∈Aに対して

　　ε=min{a,1-a}

にεを取ると、

　　

となるんだケロ。

仮に、a=1/4にすると、ε=1/4だからは

　　

となるので、

　　

となる。

このことから、1/4は(0,1)の内点ということになるんだケロ。

じゃぁ、閉区間[0,1]、つまり、0≦x≦1の内点はどうなるか。
(0,1)⊂[0,1]だから、a∈(0,1)が[0,1]の内点であることは、先にやったことから明らかだろう。
すると問題になるのは、a=0とa=1だケロ。

0のε近傍は

　　

となる。で、例えば、ε>0、x=−ε/2とすると、εをどんなに小さく取ったとしても

　　

になってしまう。

もし、[0,1]に属するとすれば、

　　

となって、ε>0に反してしまう。

よって、a=0は[0,1]の内点ではない。
では、a=1はどうか。もしa=1が[0,1]の内点だとすると、

　　

となるε>0が存在することになる。

　　

で、0<ε/2<εなのだから、

　　

でも、

　　

にならないケロ。

もし、なるとすれば、

　　

ε>0に反してしまうケロ。

よって、a=1は内点ではない。

ということで、

[0,1]の内点は(0,1)ということになるケロ。

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開核と開核演算子

このようなAの内点の集まりをAの開核やAの内部とかいって、記号でやなどで表す。

このAの右肩に付いているiを開核作用子などと呼んだりする。

これは、i:A→Aという写像にみなすことができるので。

つまり、　　

というわけだケロ。

ちなみに、を難しく書くと

　　
以上のことから、(0,1)は[0,1]の内部だ、開核だということになるんだケロ。

つまり、
　　

というわけ。

そして、
　　

 

次回により詳しくやるけれど、

　　

となる集合を開集合という。

なんで、(0,1)を開区間というかというと、開集合だからだにゃ。

そして、開集合の補集合を閉集合と呼ぶんだケロ。
で、[0,1]は閉集合なんだにゃ。
なんで、[0,1]が閉集合になるかといえば、(−∞,0)∪(1,∞)が開集合で、[0,1]はこの補集合になっているからだにゃ。

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ここは読むな。　読むと呪われる！！

今やっていることは、次元の壁を超えていると書いたにゃ。
つまりだ、裏を返せば、
一般的なものを考える場合、
最も単純な一次元で考えていいということだにゃ。
何もわざわざ難しくして、難しく考えることはない。
少なくとも、（ユークリッド）距離がからむ集合の包含関係の議論をするとき、
最も単純な一次元空間、数直線で考えていいんだケロ。

あなた、ここを読みましたね。

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