Wallisの公式 [ネコ騙し数学]
Wallisの公式
問題 次の問いに答えよ
(1)次のことを証明せよ。
(2)次の値を求めよ。
【解】
(1)t=π/2–xとおくにゃ。そうすると、積分の範囲は[0,π/2]から[π/2,0]に変わるにゃ。さらに、
よって、
また、
という関係があり、このことから
となり、証明された。
(2)
とする。
n≧2のとき、
とし、部分積分するケロ。
というわけで、
となる。
これより、nが2以上の偶数のとき
となり、nが3以上の奇数のとき
となる。
で、n≧2のとき
という式のことを、Wallisの公式と呼んだりする。
これは、こう書き換えたほうがわかりやすいのかもしれない。
nが2以上の偶数のときは2k、nが奇数のとき2k+1と書けるので、
kだと気持ち悪いという人は、
そして、
なんて記号を定義し、このn→∞という極限を導入すると、
という美しい式が出てくる。
こちらの方をWallisの公式と呼んだりする。
今は、証明をしないケロ。
前回やったサイクロイドの問題で
という積分が出てきたにゃ。
前回はこの積分の値を違う方法で求めたけれど、Wallisの公式を使うと、この値が2/3とすぐに出てくるのであった。
タグ:微分積分
2016-02-03 12:08
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