漸近線

漸近線

漸近線とは、原点から十分離れたところで、その曲線に接することなく、その曲線が近づく直線のこと。

こういう定義は、数学的じゃないにゃ。ということで、もう少し厳密に定義するケロ。

曲線y=f(x)上の点Pから直線ｌにおろした垂線の足をHとする。のとき、が無限小であれば直線lはを漸近線という。

たとえば、

　　

という曲線があるとする。

この曲線のグラフを見ればわかるけれど、xが大きくなれば、この曲線はどんどんy=xという直線に近づいてゆく。だから、y=xはこの曲線の漸近線となる。

また、x=0も漸近線になっている。

なぜならば、

　　

で、x=0という直線に近づいてゆき、そして、曲線上のyの絶対値は限りなく大きくなってゆくから。

一般に、点と直線ax+by+c=0との距離dは

　　

で与えられる。

直線の方程式がy=ax+bのときは

　　

となる。

ということで、曲線y=f(x)上の点と直線y=ax+bとの距離は
　　

となる。

y=ax+bがy=f(x)の漸近線であるならば、｜x｜→±∞のときd→0にならなければならないので、

　　

となり、①が成立するときd→0なので、逆も成り立つ。

じゃ〜、どうやってこのaとbを見つけるか。、

①から

　　
となり、

　　

また、①から

　　

となる。

だ・か・ら、

y=ax+bがy=f(x)の漸近線であるとき

　　

となるので、これを使って求めれば良い。

ここで、注意することは、y=x+1/xの場合、x=0も漸近線だったにゃ。上の方法ではx=cという漸近線は求められない。x=cが漸近線になるときは、y=x+1/xのように

　　

とかになるにゃ。つまり、x=cはf(x)の不連続点だケロ。

なのだけれど、y=x+1/xのようなタイプは、x→±∞のとき1/x→0となり、y→xになるのがすぐにわかるので、aやbをわざわざ求める必要はないケロ。

では、問題を。

問題１　関数について次の問いに答えよ。

（１）yの極大、極小値を求めよ。

（２）yの漸近線を求めよ。

【解】

（１）
　　

になるので、x=2のとき極小で極小値は0、x=4のとき極大で極大値は4。

（２）

　　

だから、x→±∞のとき1/(x-3)→0なので、x→±∞のときy→x–1。よって、y=x–1は漸近線。

さらに、x=3も漸近線。

こんなのは、厳密でないという人には、

　　

よって、y=x–1は漸近線。

問題２　次の曲線の概形をかき、さらに、漸近線を求めよ。

　　
【解】

　　

なので、yは単調増加で、x＜0で下に凸、x＞0で上に凸。つまり、x=0は変曲点。
そして、このグラフは次のようになる。

さらに、

　　

なので、y=0とy=1が漸近線。

ちなみに、この曲線は点(0,1/2)に関して対称である。

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