三角関数の積分、再び

三角関数の積分、再び

これを知っておけば、「三角関数の微分・積分で困ることはない」という最終兵器といえる方法をやるにゃ。

まず、三角関数で最も基本的な関係

　　

この両辺をで割ると

　　

そして、cosの倍角公式。

　　

で、この2θをxとすると、半角公式になる。

　　

これで準備が整った。

とすると、②から

　　

となり、③から

　　

となる。そして、①にこの結果を代入すると、

　　

また、

　　

となる。

ということで、

　　

として計算できる。

前回、

　　

という積分が出たけれど、これは三角関数の積分の最後の切り札である⑨式から出てくるんだケロ。

とおくと

　　

ここで、

　　

とし、

　　

となって、

　　

となり、

　　
という結果になる。

言っておきますが、この積分の仕方は三角関数の積分の最終手段。

たとえば、∫sinxdxのような積分に使うと、

　　

となって、

　　

と違うんじゃないか(・・?
ということになる。

この②つの式は、少し見掛けは違うけれど、同じものなんだケロ。（A)に④を使うと

　　

だから、

　　

となる。
（A）の左辺を微分すると、

　　

になるので、これがsinxの原始関数であることは間違いがない。そして、原始関数同士には定数分の違いがあるので、矛盾しない。

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微分・積分の計算で困ったことがあったならば、
ねむねこ幻想郷の

原始関数の表
http://nemuneko-gensokyou.blog.so-net.ne.jp/2015-03-30-3

や

初等関数の微分
http://nemuneko-gensokyou.blog.so-net.ne.jp/2015-03-30-1
を見るにゃ。

これはそのために作ったにゃ。

そして、三角関数に関する公式は

ねこ騙し数学公式集
http://nemuneko-gensokyou.blog.so-net.ne.jp/2015-03-31-1

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