この級数は一様収束するか？

この級数は一様収束するか？

昨日の夜、「重積分のいい問題はないか」と、数学の演習書をちらっと覗いて、こんな問題を見つけた。

問題　次の関数列級数が一様収束することを示せ。

　　

【解】

　　

とする。

　　

だから、f(x)はx=−1/√nで極小（最小）、x=1/√nで極大（最大）となる。

よって、

　　

ということで、

　　

で、

　　

となり、ワイエルシュトラスのM判定法より一様収束する。
（問題終わり）

上の解答では、ワイエルシュトラスのM判定以外にも
α>1ならば

　　

は収束する、ということも使っている。

ちなみに、f(x)という関数はf(−x)=−f(x)が成り立つので奇関数。ということで、0≦xだけを調べてもいいにゃ。
n=1の時のグラフは、次のようになる。このグラフを見れば、奇関数であることがよく分かるんじゃないだろうか。

また、問題の関数列級数がx∈Rで収束するのだから、

　　

は0に収束する。
何故ならば、xを一つの値に固定すると、

　　

と置くことができるにゃ。そして、

　　

となることから分かるケロ。

もっとも、

　　

だから、ハサミ打ちの定理よりn→∞のときに極限値が０になることからも分かる。
そして、このことから、この関数列も０に一様収束することが分かるケロ。

ｎを１〜１０まで変化させた時のグラフが次のようになることから、このことがわかってもらえるんじゃないだろうか。

この問題一つでこれまで勉強してきたことを色々と復習できるので、この問題はいい問題だと思うにゃ。
ただ、これだけポンと出されると、どうやって問いたらいいのか、途方に暮れることになるかもしれない。

そして、この関数の場合、

　　

が成り立つのであった。

何故、成り立つのかは、過去の記事を読んで欲しいにゃ。

第３３回　関数項級数の一様収束の判定
http://nemuneko-gensokyou.blog.so-net.ne.jp/2015-06-29-5

ここにほとんど同じ問題が出ていて、ここでも解いているようだが・・・。

タグ：微分積分