第１３回 平面上の点の移動

第１３回　平面上の点の移動

「急がば回れ」という言葉があるので、今回は、点の移動についてやるにゃ。

§　平面上の点の移動

xy座標平面上に点A(x,y)があるとする。

x軸、y軸に関して対称、さらに、原点OについてAと対称な点は、図から分かるように次のようになる。

　　（ⅰ）　x軸について対称　(x,−y)

　　（ⅱ）　y軸について対称　(−x,y)

　　（ⅲ）　原点について対称　(−x,−y)

そして、点Aを（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）の点に対応させれば写像となり、その写像をφとすれば

　　（１）　x軸について対称移動　φ:(x,y)→(x,−y)

　　（２）　y軸について対称移動　φ:(x,y)→(−x,y)

　　（３）　原点について対称移動　φ:(x,y)→(−x,−y)

となる。

さらに、点A(x,y)をを平行移動させれば、

　　（４）　平行移動　φ:(x,y)→(x+α,y+β)

となる。

今回、こんなことをやりたいわけじゃないにゃ。やりたいのは、平行移動によって関数の像がどう変わるかだにゃ。

今、仮にy=f(x)という関数があるとする。そして、この平面上の点A(x,y)をx軸方向にα、y軸方向にβだけ移動させ、A’(x’,y’)になったとする。この時、(x,y)と(x’,y’)の間には（４）次のような関係がある。

　　

では、これによってy=f(x)の像はどうなるか。⑨をxとyについて解けば、

　　

になるので、これをy=f(x)に放り込む。

そうすると、

　　

となる。

このままだと見た目が悪いので、x’、y’をx,yに直すと、

　　

となるにゃ。

たとえば、原点を通る傾きmの直線をy=f(x)=mxとし、これを(α,β)だけ平行移動させれば、

　　

となる。

この式、②は見覚えがないケロか？　そうだケロ、これは点(α,β)を通る傾きがmの直線の方程式だケロ。ということで、y=mx上の点をすべて、x軸に沿ってα、y軸に沿ってβだけ移動させたものと考えることもできるというわけ。

じゃぁ〜、中学で習う２次関数y=f(x)=ax²は、この平行移動によってどうなるか。

　　

になる。

たとえば、y=f(x)=x²、α=1、β=−2とすると、

　　

となる。

y=f(x)=x²の対称軸はx=0で頂点は(0,0)で、y=g(x)=(x−1)²−2=x²−2x−1の対称軸はx=1、頂点は(1,−2)になっているので、y=x²を(1、−2)平行移動させた曲線になっていそうだ(^^)

突然、何でこんなことを言い出したいかというと、

　　

という２次関数を、次回、取り上げたいんだにゃ。

そして、このためには、どうしてもこの知識が必要になるので、こういう話をしたというわけ。

②を、次のような形に変形したいんだケロ。

　　

この変形の仕方を次回、やるにゃ。

実は、この変形の仕方は、すでに２次方程式の解の公式のところの平方完成で出ているのだけれど・・・。

ところで、f(x)=a/xとし、これを(p,q)だけ平行移動させると、

　　

になる。

タグ：中学数学