第０回 数と式

第０回　数と式

実数の性質として次のようなものがあるにゃ。これくらいは知っていないと困るにゃ。

１　演算の基本法則

　　交換法則　a+b=b+a, ab=ba

　　結合法則　(a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc)

　　分配法則　a(b+c)=ab+ac

２　絶対値

　　

３　平方根の２乗

　　

４　平方根の計算

a>0、b>0のとき

　　

上であげたものの中で要注意なのは３の「平方根の２乗」だケロ。

　　

注意しないと、なんて間違いをするケロ。

何故、これが間違っているかというと、a=−1のとき

　　

となり、

　　

でなくなるにゃ。

⑨が成り立つのは、a≧0の時だにゃ。

問題１　次の関数の値の範囲（値域）を求めよ。

　　

【解（？）】

「こんな問題、相加平均≧相乗平均を使えば、ちょろいケロ！！」と考え、

　　

よって、x=±1のとき、最小で最小値は2。

だから、y≧2!!

お陀仏だにゃ。どこが間違っているか、分かるケロか？

この関数のグラフを書くと次のようになり、最小値は存在しないにゃ。

相加平均≧相乗平均の公式は

　　

だにゃ。

aやbが負数のとき、この公式は成り立たない。

だから、相加平均≧相乗平均を使うのであれば、

　　

よって、

　　

としなければいけない。

そして、等号が成立するとき、

　　

になるので、

　　

となり、

　　

x=−1のときy=−2、x=1のときy=2となり、・・・
結構、面倒なんだケロ。
前回の問題でx>0という制限が入っていたのは、このため。

で、

　　

とすると、

　　

となり、この関数が奇関数、つまり、原点に関して対称であることが分かるにゃ。

x>0のときは、

　　

は成立するにゃ。

そして、この関数が奇関数、つまり、原点に関して対称であることを使うと、x<0のとき、y≦−2となることが分かる。

問題２　次の式を満足するxの存在する範囲を数直線上に図示せよ。

　　

【解】

（１）　x−a≧0のとき、

　　｜x−a｜=x−a<2

　　x<a+2

x−a<0のとき
　　｜x−a｜=−(x−a)=a−x<2

　　x>a−2

よって、a−2<x<a+2

これを図示すると

白丸のところは含まないケロよ。

（２）の答えは、x≦a−2、または、x≧a+2。

この図くらいは自分で書くべきだケロ。

 

ずっと前に「｜x−a｜は数直線上の点xと点aの２点間の距離だ」という話をしたにゃ。このことを知っていれば、この問題は簡単に解けるはずだにゃ。

まっ、そういうことで。

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