ベクトル 空間ベクトルの内積２

ベクトル　空間ベクトルの内積２

問題１　空間中に３点A、B、Cが与えられている。ただし、この３点は１直線上にないものとする。原点Oからこの３点を通る平面におろした垂線の足をHとする。次の問いに答えよ。

（１）　を証明せよ。

（２）　A、B、Cの座標をそれぞれ(1,0,0)、(1,1,0)、(−1,2,1)とするとき、Hの座標を求めよ。

【解】

（１）　Hは原点OからA、B、Cを通る平面におろした垂線だから、OH⊥AH。

　　

同様に、OH⊥BH、OH⊥CHから

　　

（２）　Hの座標を(x,y,z)とする。

　　

（１）より

　　

よって

　　

x=x+yよりy=0。

よって、

　　

だから、

　　

となり、

　　

H(0,0,0)は解として不適なので、

　　

（解答終わり）

うるさいことを言うと、求めたH(1/5,0,2/5)がA(1,0,0)、B(1,1,0)、C(−1,2,1)と同一平面にあることを示さないといけない。

A、B、Cの３点を通る平面の方程式を

　　

とすると、A(1,0,0)、B(1,1,0)、C(−1,2,1)を通るので

　　

これから、この平面の方程式がx+2z=1であることが分かり、(1/5,0,2/5)がこの平面上にあることが示される。

しかし、ここまでするのであれば、次のように解答したほうがいい。

垂線OHは(1,0,2)に平行（※）。

点Hは垂線(x,y,z)=(t,0,2t)と平面x+2z=1の交点。

よって、

　　

Hは(1/5,0,2/5)である。

このように解答すれば、連立２次方程式を解かなくてすむし、面倒な議論をしなくてすむ。

（※）　平面π：ax+by+cz=dとは垂直！！

なぜならば、

平面π上に(x,y,z)とは異なる点があるとすると

　　

よって、平面πとは垂直。

問題２　Oを座標の原点とし、

　　

とする。次の問いに答えよ。

（１）　∠ABC=θとして、cosθを求めよ。

（２）　△ABCの面積を求めよ。

【解答】

（１）

　　

よって

　　

また、

　　

よって、

　　

（２）　cosθ=1/2よりθ=60°。

　　

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