体積の問題２

体積の問題２

問題１　異なる２つの放物線y=x²、y=(1−a²)x²+aが交わるとき、これらで囲まれる図形をy軸のまわりに回転してできる回転体の体積は、aの値にかかわらず一定であることを証明せよ。ただし、a>0とする。

【解】

異なる２つの放物線の交点のx座標は

　　

交点のy座標はy=1/a。

（１）　0<a<1のとき、体積Vは

　　

（２）　a>1のとき

　　

よって、体積Vはaの値にかかわらず一定で、その値はπ/2である。

（解答終わり）

問題２　曲線y=√xと直線y=mxとで囲まれる図形をx軸のまわりに回転してできる立体とy軸のまわりに回転できる立体とが同じ体積になるようにmの値を定めよ。

【解】

y=√xとy=mxの交点のx座標は

　　

交点は(0,0)、(1/m²,m)。

　　

だから

　　

（解答終わり）

問題２　図のように、AC=1、BC=3とし、DEはA、Bを中心とし点Cで外接する２円の共通接線である。∠ABE=60°であることを示し、斜線をつけた部分CDEをABのまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ。

【解】

Cを原点Oにとり、Aを(−1,0)、Bを(3,0)にとる。
Aから直径BEに垂線をおろし、垂線の足をHとする。
四角形ADEHは長方形。

したがって、EH=AD=1。

よって、

　　

AD=4だから

　　

Eのx座標は

　　

Dのx座標は

　　

Dのy座標は

　　

直線の傾きは

　　

したがって、直線DEの方程式は

　　

以上のことより、求めるべき体積Vは

　　

（解答終わり）

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