微分・積分公式の追加

微分・積分公式の追加

§１　微分・積分公式の追加

問題１　f(x)の導関数がf'(x)であるとき、

　　

であることを証明せよ。

【証明】
　　

t=ax+b、k=ahとおくと、h→0ならばk→0になるから、上の式は

　　

（証明終わり）

だから、一般に

は成立しない！！

例えば、f(x)=x²とすると、f'(x)=2x。

　　

そして、このことから、f(x)の原始関数をF(x)とすると、

　　

である。

何故ならば、

　　

だから。

原始関数の定義より

　　

問　次の不定積分を計算をせよ。

　　

【解】

　　

したがって、②より
　　

（解答終わり）

【別解】

　　

（解答終わり）

別解で求めた不定積分は解で求めた不定積分より1/6小さい。

ですが、不定積分では、定数分の差があったとしても同じものと見なされるので、どちらも正解。

微分すると、どちらも(2x+1)²になるからです。

問題　定義域がx>0の関数f(x)がある。f(x)は定義域で微分可能で、次の関係がある。

　　

（１）　f(1)の値を求めよ。

（２）　f'(1)=1とするとき、f'(x)を求めよ。

（３）　f(x)を求めよ。

【解】

（１）

　　

（２）　f(ax)=f(a)+f(x)（aは任意の定数）をxで微分する。

　　

x=1を代入すると、

　　
これが任意のaについて成り立つので、
　　

（３）　（２）より

　　

（１）より、f(1)=0だから

　　

（解答終わり）

（３）は、次のように解いてもよい。
（３）の別解

（別解終わり）

　　

「⑨ネコ、

はどこから出てきたんだ？」

「オレが、こうだと決めたんだケロ。

こう定義したんだ。だから、誰にも文句を言わせない。」

 

§２　対数関数と指数関数

ココからは、整関数の微分・積分、さらに数学Ⅲの微分積分をも越えた話をします。

ですから、純粋に読み物として読んでもらって結構！！

⑨から、

　　

さらに、

　　

ここで、t=xsとおき、置換積分を使うと
　　

したがって、

　　

また、この結果を使って
　　

したがって、

　　

などなど、対数関数logを

　　

と定義することによって、高校で習った対数関数の諸公式を導くことができる。

さらに、
この定義より、

　　

だから、logxは単調増加であり、この逆関数が定義できる。

この逆関数を

　　

として、指数関数を対数関数の逆関数として定義することも可能である。
y=logxとおき、これを微分すると、⑨より

　　

逆関数の微分公式より

　　

つまり、

　　

である。

このことから、

　　

とおくと、

　　

が成立する。

先に定義したように、log1=0だから、

　　

である。

したがって、f(y)をマクローリン展開すると

　　

このことから、

　　

である。

これが収束することは、数列の問題で証明し、また、そこでこの近似値を小数点４位まで求めてある。

公式の追加として
　　

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