極限 曲率円と曲率半径

極限　曲率円と曲率半径

図のように、円周上の点Aにおける接線t上に点Rをとり、点Rをとおり直径ABに平行な直線と円Oとの交点をP、Qとする。

このとき、方べきの定理より次の関係が成立する。

　　

RがAに限りなく接近するとき、RQは直径ABに限りなく近づく。

つまり、次の極限は直径ABであり、

　　

円Oの半径は次式で与えられる。

　　

問題１　半径rの円上に定点Aと動点Pがある。Aにおける円Oの接線にPからおろした垂線の足をHとする。いま、∠AOP=θ（弧度）とするとき、

（１）　AH、PH、弧APをrとθで表せ。

（２）　を求めよ。

（３）　

【解】

（１）　Pから半径OAにおろした垂線の足をKとする。

AHは

　　

PHは

　　

弧APは

　　

（２）

　　

よって、

　　

（３）　半角定理より

　　

したがって、

　　

（解答終わり）

問題２　放物線y=x²上の点Pからx軸におろした垂線の足をRとするとき、

　　

を求めよ。ただし、Oは原点である。

【解】



点Pを(t,t²)とすると、

　　

よって、

　　

（解答終わり）

 

問題３　原点Oにおいてx軸に接し、放物線y=ax²上の点P(α,β)を通る円の半径をrとするとき、rをαを用いて表せ。

次に、 を求めよ。ただし、aは正の定数とする。

【解】

円の中心は(0,r)で、半径がrだから、円の方程式は

　　

点Pはy=ax²上にあるので

　　

また、点Pは円周上に存在するので

　　

よって、

　　

（解答終わり）

 

問題４　曲線上の相異なる２点P、Qでそれぞれ点P、Qでの接線に垂直に引いた２直線の交点Rとする。点Qが点Pに限りなく近づくとき、点Rの近づく点Cの座標を求めよ。ただし、点Pのx座標aは0でないとする。

【解】

点P(a,a³/3）における法線の方程式は

　　

点Q(b,b³/3）における法線の方程式は

　　

連立方程式①、②を解くと

　　

よって、交点Cのy座標は

　　

したがって、点Cの座標は

　　

（解答終わり）

 

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