曲率と曲率半径

曲率と曲率半径

曲線上の点P(x,y)における接線とx軸のなす角をθ、曲線上でPに近い点Qにおける接線'がx軸となす角をθ+Δθとし、弧PQの長さをΔsとするとき、

　　

を２点P、Q間の平均曲率といい、

　　

を曲率、この逆数を曲率半径という。

半径rの円があり、円周上の２点P、Qとこの円の中心のなす角、すなわち中心角をΔθとすると、弧PQの長さΔs=rΔθだから、

　　

となるので、何故、曲率の逆数が曲率半径になるのかが分かるのではないか。

　　

この両辺をxで微分すると、左辺は

　　

だから、

　　

また、

　　

だから、

　　

したがって、曲率半径をκとすると、曲率と曲率半径は

　　

点Pにおいて曲線に接し、接線に関して曲線と同じ側にあって、|κ|に等しい円を曲率円といい、その中心（ξ,η)を曲率円の中心という。

曲率円の中心は、

　　

である。

①式から明らかなように曲率半径κとは同符号であり、したがって、曲率円の中心は凹なる側にある。

　　

これを使って、y=x²の原点における曲率、曲率半径を求めると、
　　

上の図を見ると、y=x²の原点近くの曲線が、(0,1/2)を中心とする半径1/2の円でよく近似されていることが分かる。

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