ワンポイントゼミ８ 曲率円と半径と中心

ワンポイントゼミ８　曲率円と半径と中心

曲率と曲率半径κは

　　

で与えられる。

y=f(x)=x³/3とすると、

　　

になるので、点P(a,a³/3)における曲率は

　　

曲率円の中心C(ξ,η)は、点Pにおける接線がx軸となす角をθとすると

　　

議論を簡単にするために、a>0とすると、

　　

だから、

　　

sin²+cos²=1という関係があるので、

　　

だから

　　

よって、曲率円の中心は、

　　

となる。

当然だが、極限　曲率円と曲率半径の問題４の答と一致している。

曲率円の中心を求めるためにa>0と制限を加えたが、このことから、a<0の場合にも成立することが分かる。

少しだけ説明すると、点Pをとおりx軸に平行な直線に曲率円の中心から垂線をおろした垂線の足をHとする。そうすると、幾何的な関係から∠ HCP=θになる――何故だろうか？――。

したがって、

　　

よって、C(ξ,η)は

　　

tanθは接線の傾きと等しいので、

　　

さらに、cos²θ+sin²θ=1だから、この両辺をcos²θでわると、

　　

この場合、欲しいのは、θそのものではなく、sinθとcosθの値なので、これで十分である。

a>0に制限したのは、こうしないと、議論がかなり厄介になるから。細かい吟味が必要になってしまうから。

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