関数の近似式

関数の近似式

§１　１次の近似式

関数f(x)がx=aで微分可能ならば、x=aにおける接線

　　

は、x=aのごく近くであれば

　　

という近似ができる。

x−a=hとおくと、x=a+hだから、|h|が十分小さいとき

　　

が成り立ち、①の右辺を１次の近似式という。

特に、①において、a=0、h=xとおけば

　　

例　とすると、

　　

だから、②式より

　　

α=−1、α=1/2とすると、

　　

問　次の近似を求めよ。

　　

【解】

（１）

　　

（２）

　　

 

§２　２次の近似式

関数f(x)がx=aで２回微分が可能であるとし、点P(a,f(a))で共通の接線を有し、さらに２次微分係数f''(a)が等しい放物線を

　　

とおくと

　　

x=aでf(a)=g(a)、f'(a)=g'(a)、f''(a)=g''(a)であるから

　　

したがって

　　

点Pの近くでは、g(x)はf(x)に近接しているから、x≒aでは

　　

とみなすことが可能で、x=a+hとおけば

　　

という２次の近似式が得られる。

④式から①の誤差がほぼ程度であることが分かる。

④式においてa=0、x=hととおけば

　　

とすれば、

　　

だから、

　　

α=−1、α=1/2のとき

　　

問　xが３に近いとき、次の式の近似式を求めよ。

　　

【解】

　　

とおくと、

　　

ゆえに、
　　

したがって、１次の近似式は

　　

２次の近似式は
　　

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