一つ質問！！ 凸関数の逆関数は凹関数ケロか？

凸関数の逆関数は凹関数？

問　y=√xがある。次の問いに答えよ。

（１）　y=√xの定義域を答えよ。

（２）　y=√xの値域を求めよ。

（３）　y=√xの逆関数を求めよ。

この問題の答えは、

（１）　0≦x（<+∞）

（２）　0≦y（<＋∞）

（３）　x=y²　（0≦y）　あるいは　y=x²　（0≦x）

「（３）の答えを、単に、x=y²、y=x²とするのは致命的な間違い。

何故だろうか？」

「高校のとき、y=f(x)の逆関数はy=xに関して対称と習った。だから、0≦xでなければならない。」

「なるほど、そうですか。だから、y=√xのyとxを入れ換えて、

x=√y

これを２乗すると

x²=y

∴　y=x²

と、y=√xの逆関数を求めるわけですね。」

・・・

「それはそれとして、この図を見ると、y=√xは上に凸の関数であり、その逆関数であるy=x²（0≦x）は下に凸（上に凹）ですね。同じく、上に凸の関数であるy=logxの逆関数は下に凸な（上に凹な）関数。
したがって、
上にに凸な関数の逆関数は上に凸な関数である。
逆に、下に凸な（上に凹な）関数の逆関数は上に凸な関数である。
これは正しいですか？」

「これは間違い。反例として、次の図をあげる。y=−x²は上に凸であるが、の逆関数x=−y²上の点Pにおける接線は曲線の上にあり、y>0で上に凸。したがって、下に凸（上に凹）になっていない。」

「ほ〜、そうですか。ところで、ひとつ質問しますが、確かに,x=−y²はy=xに関してy=−x²と対称ですけれど、これってy=−x²の逆関数ですか。そもそも、y=−x²に逆関数は存在するんですか？」

へっ、へっ、へっ、へっ。




コイツ、逆関数をまったく理解していない！！
と、⑨³ネコはあざ笑う(^^)

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